Integration ved substitution

[MikeCharlie]

Jeg skal udregne \(\int{(x^{3}+2)^{4}\cdot{3x^2}}dx\) hvor

\(g(x)=t\) genkendes som den indre funktion: \(t=x^{3}+2\)

\(t=x^{3}+2\)
\(\Updownarrow\)
\(\frac{dt}{dx}=3x^2\)
\(\Updownarrow\)
\(dt=3x^{2}dx\)
\(\Updownarrow\)
\(dx=\frac{1}{3x^2}dt\)

\(\Rightarrow\int{f(t)}dt\Leftrightarrow\int{(x^{3}+2)^{4}dx}=\frac{1}{5}\cdot(x^{3}+2)^{5}+k\)

Er dette korrekt?

[JensSkakN]

Nej
I den sidste linje skriver du
\(\int f(t)dt\)
Det er et udtryk, men ikke et udsagn, som kan være sandt eller falsk. Derfor giver det ingen mening at skrive \(\iff\) efter dette.
Sidste linje skulle have været
\(\int (x^3+2)^4\cdot{3x^2}dx=\int t^4 dt=\frac 1 5 t^5 +k = \frac 1 5 (x^3+2)^5+k \)
Dit resultat er derfor korrekt og du har til dels forstået metoden, men der er flere fejl i din formalisme.

[MikeCharlie]

Tak, Jens. Kan du give mig din besvarelse med mellemregninger? Blot så jeg har mulighed for at opdage, samtlige fejl i min egen.

[JensSkakN]

Min besvarelse ville bestå af dine første 5 linjer til og med \(3x^2 dx\) efterfulgt af min sidste linje, som jeg ville skrive uden biimplikation.

[MikeCharlie]

Nok et spørgsmål hertil. Jeg skal løse integralet

\(\int{\frac{6}{x^2-4}}dx=6\int{\frac{1}{x^2-2^2}}dx=6\int{\frac{1}{(x+2)(x-2)}}dx\)

For at kunne anvende substitution skal det omskrives yderligere, men jeg står fast.

[JensSkakN]

Ideen er, at integranden kan skrives som summen af to brøker.
Antag, at \(\frac 1 {(x-2)(x+2)}=\frac a {x-2}+\frac b{x+2}\)
Ved at regne lidt, får du, at det hele giver \(\int \frac 3 2 (\frac 1 {x-2}-\frac 1 {x+2})dx\)