Velkommen til Matematikcenter online forum
Opret dig som bruger og få gratis adgang til Danmarks eneste gratis matematikhjælp for alle.
Har du allerede en bruger? Log ind her.

3. gradsligning. Hvordan løses den i hånden?

Lugano21
Indlæg: 11
Tilmeldt: 15 mar 2019, 20:39

3. gradsligning. Hvordan løses den i hånden?

Indlægaf Lugano21 » 15 mar 2019, 20:44

Jeg har siddet med denne ligning igen og igen, og kan simpelthen ikke få de rigtige resultater.

Den skal løse den i hånden og ikke gennem CAS.

Der skal findes 3 x'er:

C(x) = R(X) =>

0,02x^3 -4,2x^2+480x +11890 = 600x

Håber nogen kan hjælpe!

Vh
Senest rettet af Lugano21 15 mar 2019, 22:15, rettet i alt 1 gang.
ringstedLC
Indlæg: 198
Tilmeldt: 22 okt 2017, 18:05

Re: 3. gradsligning. Hvordan løses den i hånden?

Indlægaf ringstedLC » 15 mar 2019, 22:09

Velkommen på Webmatematik

Jeg tror, at du har læst/regnet/skrevet forkert.
Lugano21
Indlæg: 11
Tilmeldt: 15 mar 2019, 20:39

Re: 3. gradsligning. Hvordan løses den i hånden?

Indlægaf Lugano21 » 15 mar 2019, 22:17

Mange tak.

Ja, den blev vist skrevet forkert op. Har redigeret oprindelige opslag.

Det er denne ligning:

C(x) = R(X) =>

0,02x^3 -4,2x^2+480x +11890 = 600x

Håber det giver mere mening.
number42
Indlæg: 808
Tilmeldt: 10 mar 2017, 12:11

Re: 3. gradsligning. Hvordan løses den i hånden?

Indlægaf number42 » 15 mar 2019, 22:56

Du er nok nødt til at bruge Cardanos metode

1) Man reducerer ligningen så den hedder\(x^3+ax^2+bx+c =0\)
Det gøres fx ved at dividere med 0.02 således \(x^3-210 x^2-6000 x+594500 =0\)
Cardano gør nu således
substituer x = t -a/3 og få \(t^3+ pt+q =0\) , nu et andengradsledet forsvundet.

Han opfinder nu \(u^3-v^3 =q\) og \(u \cdot v= p/3\) en løsning til ligningen er t = v-u (check ved indsættelse)

Du skal finde u og v af de to ligninger således v= p/(3u) og dermed \(u^3 - (p/(3u))^3 =q\) giver u^3 - p^3/(27 u^3) =q som reduceres til

\((u^3)^2 -q u^3-p^3/27 =0\), det er en andengrads ligning for \(u^3\) som løses på sædvanlig vis.

\(u^3 = \frac{1}{18}( 9 q \pm \sqrt{3} \sqrt{4 p^3+27 q^2})\) og v = p/(3u)

Vi har x = t-a/3 og x+a/3 = t = v-u så x = P/(3 u) -u-a/3 og du har den første løsning til din ligning.

Så trækker du vejret, holder en kaffepause og der efter dividere du den løsning op i din ligning og får en andengradsligning som holder de to andre rødder.
number42
Indlæg: 808
Tilmeldt: 10 mar 2017, 12:11

Re: 3. gradsligning. Hvordan løses den i hånden?

Indlægaf number42 » 17 mar 2019, 16:25

Jeg syntes lige at jeg skulle prøve det:

Altså\(x^3+a x^2+b x+c =0\)
Substituer x = t-a/3 og få \(t^3+ (-(a^2/3) + b) t+(2 a^3)/27 - (a b)/3 + c =0\) heraf findes \(p =(-(a^2/3) + b)\) og \(q= (2 a^3)/27 - (a b)/3 + c\)

Altså \(t^3 + pt + q = 0\), nu sættes \(q = u^3-v^3\) og \(p = 3 u v\) og vi får
\(t^3 + 3 u v t + (u^3-v^3) =0\) vi kan løse den ligning og EN af løsningerne er t = v-u
for andengrads ligningen er der to løsninger og vi vælger bare en af dem ( den med + før kvadratroden, men det er ligegyldigt)

NU er det praktisk at indsætte tallene for at finde u = 64,7061 + 52,0876 I (det er bare en at de tre løsninger , igen ligegyldigt hvilken )

\(x = p/(3 u) - u - a/3\) her indsættes p og u og a således at x = -59,4122, bemærk at den irrationelle del bare forsvandt.

divideres (x + 59,4122) op i \(x^3 -250 x^2-6000 x+594500\) fås \(x^2 -269,412 x + 10006,4\)

Andengradsligningen kan løses og man får x = 44.4877 og x = 224.925.

Løser vi tredjegradsligning med en CAS får vi det samme. {x -> -59.4122 + 0. I}, {x -> 44.4877 + 0. I}, {x -> 224.925 - 4.44089*10^-15 I}
Lugano21
Indlæg: 11
Tilmeldt: 15 mar 2019, 20:39

Re: 3. gradsligning. Hvordan løses den i hånden?

Indlægaf Lugano21 » 22 mar 2019, 19:39

Mange tak for jeres udførlige svar! Dem vil jeg tygge videre på :)

Tilbage til "Matematik A"

Hvem er online

Brugere der læser dette forum: Ingen og 1 gæst