Vektorfunktion

[Ibenhenriksen]

Hej er der nogen der kan hjælpe med dette spørgmål?

"Gør rede for at hastighedsvektoren og accelerationsvektoren for en cirkel er ortogonale."

Jeg er opmærksom på stedvektoren differentieret en enkelt gang er hastighedvektor og accelerationsvektoren er stedvektoren differentieret to gange. Jeg ved også, at man bør finde skalarproduktet for at finde ud af om de er ortogonale, men jeg kan ikke få resultatet til at give 0.

Mvh

[JensSkakN]

Stedfunktionen for en cirkelbevægelse er
\(\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)=r\cdot {\left( \begin{array}{c} \cos(\omega\cdot t) \\ \sin(\omega\cdot t) \end{array} \right)}\)
Hastighedsfunktionen bliver
\(\left( \begin{array}{c} x' \\ y' \end{array} \right)=r\omega\cdot {\left( \begin{array}{c} -\sin(\omega\cdot t) \\ \cos(\omega\cdot t) \end{array} \right)}\)
Accelerationsfunktionen bliver
\(\left( \begin{array}{c} x'' \\ y'' \end{array} \right)=-r\omega^2\cdot {\left( \begin{array}{c} \cos(\omega\cdot t) \\ \sin(\omega\cdot t) \end{array} \right)}\)
Når du nu beregner skalarproduktet, bliver det 0, da
\({-sin(\omega\cdot t)}\cdot {\cos(\omega\cdot t)}+{\cos(\omega\cdot t)}\cdot{sin(\omega\cdot t)}=0\)

[Ibenhenriksen]

Tusind tak for svar! Jeg er dog i tvivl om omega. I lærebogen står der parameterfremstilling for en cirkel er

x x0 Cos(t)
= + ( r * )
y y0 Sin(t)

Mvh

[Ibenhenriksen]

Hov! Det var ikke sådan det så ud da jeg skrev det, men det er den formel du anvendte bare uden omega:)

[ringstedLC]

Spørgsmålet er lidt misvisende.
Det er i en jævn cirkelbevægelse at hastigheds- og acc.'svektoren er ortogonale.
Når der tales om en bevægelse, er det et punkt på periferien, der bevæger sig langs denne.
Og da bevægelse tager en tid er vinkelhastigheden omega obligatorisk:

\(\omega =\frac{2\,\pi}{T}\;,\;T=\text{omløbstid}\)

Parameterfremstillingen for en cirkel kræver derimod ikke en værdi for vinkelhastigheden.

[JensSkakN]

Jeg er enig i, at spørgsmålet er misvisende, og det burde jeg have skrevet.
Faktisk kan man slet ikke tale om hastighedsfunktion og acceleration for en cirkel. En cirkel er et geometrisk objekt.
Hvis du står i en slags eksamenssitauation og skal gøre rede for spørgsmålet, er du nødt til at acceptere at svare på, hvad læreren har tænkt sig.
Jeg vil foreslå, at du indleder med at sige, at du tolker det som en en bevægelse, hvor banekurven er en cirkel.
Du antager desuden, at farten er konstant, en såkaldt jævn cirkelbevægelse, og at der desuden ar tale om en særlig simpel cirkelbevægelse, hvor omløbstiden netop er \(2\pi\), så stedfunktionen bliver
\(\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=r\cdot{\left(\begin{matrix}\cos(t)\\ \sin(t)\end{matrix}\right)}\)
og derefter gennemfører beviset for ortogonalitet.

[Ibenhenriksen]

Tusind tak for hjælpen begge to:)