Hej,
Hvis jeg kender 2 punkter i form af GPS koordinat.
Eksempelsvis:
punktet KAS: 55 35 25.9 N / 012 36 49.0 E
punktet CDA: 55 0 5.4 N / 012 22 45.2 E
Hvis jeg gerne vil finde koordinaterne til det punkt hvor de 2 punkter KAS(radial 220) og CDA(radial 320) skærer hinanden, hvorledes gøres dette ?
Med venlig hilse
Henrik
Velkommen til Matematikcenter online forum
Opret dig som bruger og få gratis adgang til Danmarks eneste gratis matematikhjælp for alle.
Har du allerede en bruger? Log ind her.
Opret dig som bruger og få gratis adgang til Danmarks eneste gratis matematikhjælp for alle.
Har du allerede en bruger? Log ind her.
Navigation
Re: Navigation
Du må lige komme med lidt mere forklaring.
To punkter på en kugle skærer ikke hinanden. Man kan finde deres midtpunkt, både på jordoverfladen og i absolut forstand, altså midtpunktet af den rette linje, der forbinder de to punkter, et punkt, der ligger inde i Jorden.
Men hvad betyder radial 220 og radial 320? Jeg har en mistanke om, at det definerer nogle storcirkler, hvis skæringspunkt, du ønsker at beregne. Det kan jeg formentlig godt finde ud af, men først må du lige forklare dit problem.
To punkter på en kugle skærer ikke hinanden. Man kan finde deres midtpunkt, både på jordoverfladen og i absolut forstand, altså midtpunktet af den rette linje, der forbinder de to punkter, et punkt, der ligger inde i Jorden.
Men hvad betyder radial 220 og radial 320? Jeg har en mistanke om, at det definerer nogle storcirkler, hvis skæringspunkt, du ønsker at beregne. Det kan jeg formentlig godt finde ud af, men først må du lige forklare dit problem.
Re: Navigation
Hej,
Ok jeg har prøvet at tegne situation op. Det jeg primært kunne tænke mig at beregn er punktet X. Distancen D mellem de 2 punkter KAS & CDA tænker jeg måske ville være nyttigt ?
Se vedhæftede tegning. Tegningen er ikke 100% mål nøjagtig, men burde give en ide :)
Mvh.
Henrik
Ok jeg har prøvet at tegne situation op. Det jeg primært kunne tænke mig at beregn er punktet X. Distancen D mellem de 2 punkter KAS & CDA tænker jeg måske ville være nyttigt ?
Se vedhæftede tegning. Tegningen er ikke 100% mål nøjagtig, men burde give en ide :)
Mvh.
Henrik
- 2023-09-26_18-05-41.png (232.69 KiB) Vist 8242 gange
Re: Navigation
Ok
Jeg havde ret i min formodning. Du spørger om skæringen mellem to storcirkler.
Du skal nok få et svar inden jeg går i seng.
Men jeg spørger lige af nysgerrighed. Hvad betyder KAS og CDA?
Jeg ser, at de 220 og 320 er vinklen i grader, målt fra Nord, i negativ omløbsretning. Ved du hvorfor det hedder radial?
Og endelig. Det svar, jeg leverer lige nu, bliver bare et resultat. Er det resultatet eller metoden, der interesserer dig?
Hvis det er metoden, skal jeg vide, hvad din matematikbaggrund er. Kender du til vektorregning i 3 dimensioner? Kender du til sfærisk geometri?
Jeg havde ret i min formodning. Du spørger om skæringen mellem to storcirkler.
Du skal nok få et svar inden jeg går i seng.
Men jeg spørger lige af nysgerrighed. Hvad betyder KAS og CDA?
Jeg ser, at de 220 og 320 er vinklen i grader, målt fra Nord, i negativ omløbsretning. Ved du hvorfor det hedder radial?
Og endelig. Det svar, jeg leverer lige nu, bliver bare et resultat. Er det resultatet eller metoden, der interesserer dig?
Hvis det er metoden, skal jeg vide, hvad din matematikbaggrund er. Kender du til vektorregning i 3 dimensioner? Kender du til sfærisk geometri?
Re: Navigation
Her får du mit foreløbige svar.
Beregningen er foretaget med vektorregning, men det er ganske kompliceret, så jeg vil ikke udelukke fejl i første forsøg.
Jeg vil prøve at læse op på den sfæriske geometri, så jeg kan kontrollere, men det bliver i løbet af ugen.
Mit resultat blev 55 12 55.8 N / 12 3 49.8 E
Resultatet virker ikke indlysende forkert ud fra din tegning.
Mvh Jens Skak-Nielsen
Beregningen er foretaget med vektorregning, men det er ganske kompliceret, så jeg vil ikke udelukke fejl i første forsøg.
Jeg vil prøve at læse op på den sfæriske geometri, så jeg kan kontrollere, men det bliver i løbet af ugen.
Mit resultat blev 55 12 55.8 N / 12 3 49.8 E
Resultatet virker ikke indlysende forkert ud fra din tegning.
Mvh Jens Skak-Nielsen
Re: Navigation
Hej,
KAS og CDA referere til VOR's. VOR er et radiobaseret navigationssystem, der benyttes i forbindelse med luftfarts navigation.
Et VOR er inddelt i 360 grader(radialer), hvordan det rent teknisk forholder sig kan læses her https://da.wikipedia.org/wiki/VHF_omnidirectional_range
Jeg er nysgerrig på at finde ud af metoden, hvor med koordinatet beregnes ud fra de få oplysninger jeg plottede ind på min tegning tidligere :)
Radial referere som jeg forstår det, til den udgående vinkel 1-360 grader fra VOR. Der er sikker en smartere teknisk forklaring. I en fly computer kan punktet "X" Bla. findes ved at angive 2 VOR's med tilhørende radial, eks. KAS-220/CDA-320 hvorefter et koordinatsæt genereres/gemmes og efterfølgende kan bruges til videre navigation.
Generelt vises VOR med nordlig visning Jvf. den måde fly navigations kort er udformet.
Min matematikbaggrund kunne godt trænge til en opgradering ;) Jeg er med på simpel vektorregning, Så jeg kan jeg nok ikke kloge mig så meget mere på den konto :)
Mvh.
Henrik
KAS og CDA referere til VOR's. VOR er et radiobaseret navigationssystem, der benyttes i forbindelse med luftfarts navigation.
Et VOR er inddelt i 360 grader(radialer), hvordan det rent teknisk forholder sig kan læses her https://da.wikipedia.org/wiki/VHF_omnidirectional_range
Jeg er nysgerrig på at finde ud af metoden, hvor med koordinatet beregnes ud fra de få oplysninger jeg plottede ind på min tegning tidligere :)
Radial referere som jeg forstår det, til den udgående vinkel 1-360 grader fra VOR. Der er sikker en smartere teknisk forklaring. I en fly computer kan punktet "X" Bla. findes ved at angive 2 VOR's med tilhørende radial, eks. KAS-220/CDA-320 hvorefter et koordinatsæt genereres/gemmes og efterfølgende kan bruges til videre navigation.
Generelt vises VOR med nordlig visning Jvf. den måde fly navigations kort er udformet.
Min matematikbaggrund kunne godt trænge til en opgradering ;) Jeg er med på simpel vektorregning, Så jeg kan jeg nok ikke kloge mig så meget mere på den konto :)
Mvh.
Henrik
Re: Navigation
.... Tilføjelse!
KAS = Kastrup og CDA = Codan
Det er navnene på de 2 VOR fyr.
KAS = Kastrup og CDA = Codan
Det er navnene på de 2 VOR fyr.
Re: Navigation
Jeg har løst problemet, men skal have ny pc. Min løsning består i at løse 7 trigonometriske ligninger efter hinanden.
Jeg er nødt til at antage, at den magnetiske misvisning er konstant inden for området. Først i næste uge.
Jeg er nødt til at antage, at den magnetiske misvisning er konstant inden for området. Først i næste uge.
Re: Navigation
Jeg viser en løsning ud fra sfærisk geometri. Først viser jeg en skitse af problemet. N står for Nordpolen. Stregerne er i virkeligheden dele af storcirkler, hvis centrum ligger i Jordens centrum. Disse dele måles som vinkler. Der er desværre en fejl på figuren, som jeg ikke orker at rette.
Der, hvor der står \(40-e\), skulle der blot have stået \(40\).
Bemærk at stykket fra \(KAS\) til \(X\) ikke beregnes.
Bemærk desuden, at \(\angle N\,KAS\,X=140^o=(360-220)^o\) og at \(\angle N\,CDA\, X=40^o=(360-320)^o\)
Først omsættes breddegraden til decimalgrad
\(a=90-(55+\frac {35}{60}+\frac{25.9}{3600})=34.40947^o\)
\(b=90-(55+\frac{5.4}{3600})=34.99850^o\)
\(c\) er på min tegning vinklen mellem de to radiofyrs retning til den geografiske nordpol, dvs. forskellen på deres længdegrader.
\(c=(12+\frac {36}{60}+\frac{49}{3600})-(12+\frac{22}{60}+\frac{45.2}{3600})=0.23439^o\)
For at kunne bruge de to radialvinkler, 220 og 320, er vi nødt til at antage, at denne forskel mellem længdegrader er identisk med forskellen i retningen mod den magnetiske nordpol. Det er nemlig i forhold til den retning, at de radiale vinkler udmåles. Dette vil være korrekt med ganske stor nøjagtighed.
Nu kommer vi til beregningerne på de sfæriske trekanter, som beregnes i alfabetisk rækkefølge. I min formelsamling er der hele 7 formler for den type trekanter, men jeg har fundet ud af, at man kun behøver at bruge de 2. Hvis siderne i en sfærisk trekant (som i virkeligheden er vinkler), kaldes \(a, b, c\) og vinklerne overfor kaldes \(\alpha,\beta,\gamma\), gælder
\(\cos(a)=\cos(b)\cos(c)+\sin(b)\sin(c)\cos(\alpha)\,\,\,\,\,\,\)Bemærk at en vinkel i en sfærisk trekant kan bestemmes ud fra de 3 sider.
\(\cos(\alpha)=-\cos(\beta)\cos(\gamma)+\sin(\beta)\sin(\gamma)\cos(a)\)
Dette er de 2 generelle formler, hvor siderne ikke må forveksles med de aktuelle sider \(a,b\) og vinklen \(c\).
Først ses på trekant \(N, KAS, CDA\). Vi kender to sider og en mellemliggende vinkel. Det er derfor muligt at beregne den tredje side \(d\) med den første formel
\(\cos(d)=\cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b)\cos(c)=0.9999444439 \implies d=0.60396 ^o\)
Igen ses på samme trekant og samme formel, men nu beregnes de to andre vinkler \(e\) og \((140^o+f)\)
\(\cos(e)=\frac {\cos(a)-\cos(b)\cos(d)}{\sin(b)\sin(d)}=0.97565 \implies e=12.6703^o\)
\(\cos(140+f)=\frac{\cos(b)-\cos(a)\cos(d)}{\sin(a)\sin(d)}=-0.97490 \implies 140+f=167.13695 \implies f=27.13695^o\)
Nu ses på trekanten med de to fyr og punktet, der skal bestemmes, \(X\). Her kendes to vinkler, \(f, (40+e)\) samt den mellemliggende side, \(d\). Derfor benyttes den anden formel
\(\cos(g)=-\cos(f)\cos(40+e)+\sin(f)\sin(40+e)\cos(d)=-0.17698 \implies g=100.19392^o\)
Den anden formel benyttes igen til at bestemme \(h\).
\(\cos(h)=\frac{\cos(f)+\cos(g)\cos(40+e)}{\sin(g)\sin(40+e)}=0.999988099 \implies h=0.27953^o\)
Til sidst ses på trekant \(N, CDA, X\) og \(j\) bestemmes ud fra den første formel
\(\cos(j)=\cos(h)\cos(b)+\sin(h)\sin(b)\cos(40)=0.82130 \implies j= 34.78477^o \implies X_{bredde}= 55.21523^o= 55^o\,12'\,54.8'' \)
Dette resultat afviger kun med 1 buesekund fra det tidligere beregnede resultat ud fra vektorer. Afvigelsen skyldes uden tvivl små numeriske fejl.
\(k\) beregnes ud fra samme princip og længdegraden kan bestemmes. Afvigelsen svarer til 31 meter.
Jeg vil mene, at dette er en korrekt matematisk beregning. Jeg håber du får glæde af den. Hvis du i virkeligheden ønsker at beregne din position ud fra to VOR-målinger, mens du flyver, vil jeg mene, at det må være bedre at anskaffe en GPS-måler, der samtidig kan levere højden over jordoverfladen.
Der, hvor der står \(40-e\), skulle der blot have stået \(40\).
- navigatio.png (39.97 KiB) Vist 8172 gange
Bemærk desuden, at \(\angle N\,KAS\,X=140^o=(360-220)^o\) og at \(\angle N\,CDA\, X=40^o=(360-320)^o\)
Først omsættes breddegraden til decimalgrad
\(a=90-(55+\frac {35}{60}+\frac{25.9}{3600})=34.40947^o\)
\(b=90-(55+\frac{5.4}{3600})=34.99850^o\)
\(c\) er på min tegning vinklen mellem de to radiofyrs retning til den geografiske nordpol, dvs. forskellen på deres længdegrader.
\(c=(12+\frac {36}{60}+\frac{49}{3600})-(12+\frac{22}{60}+\frac{45.2}{3600})=0.23439^o\)
For at kunne bruge de to radialvinkler, 220 og 320, er vi nødt til at antage, at denne forskel mellem længdegrader er identisk med forskellen i retningen mod den magnetiske nordpol. Det er nemlig i forhold til den retning, at de radiale vinkler udmåles. Dette vil være korrekt med ganske stor nøjagtighed.
Nu kommer vi til beregningerne på de sfæriske trekanter, som beregnes i alfabetisk rækkefølge. I min formelsamling er der hele 7 formler for den type trekanter, men jeg har fundet ud af, at man kun behøver at bruge de 2. Hvis siderne i en sfærisk trekant (som i virkeligheden er vinkler), kaldes \(a, b, c\) og vinklerne overfor kaldes \(\alpha,\beta,\gamma\), gælder
\(\cos(a)=\cos(b)\cos(c)+\sin(b)\sin(c)\cos(\alpha)\,\,\,\,\,\,\)Bemærk at en vinkel i en sfærisk trekant kan bestemmes ud fra de 3 sider.
\(\cos(\alpha)=-\cos(\beta)\cos(\gamma)+\sin(\beta)\sin(\gamma)\cos(a)\)
Dette er de 2 generelle formler, hvor siderne ikke må forveksles med de aktuelle sider \(a,b\) og vinklen \(c\).
Først ses på trekant \(N, KAS, CDA\). Vi kender to sider og en mellemliggende vinkel. Det er derfor muligt at beregne den tredje side \(d\) med den første formel
\(\cos(d)=\cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b)\cos(c)=0.9999444439 \implies d=0.60396 ^o\)
Igen ses på samme trekant og samme formel, men nu beregnes de to andre vinkler \(e\) og \((140^o+f)\)
\(\cos(e)=\frac {\cos(a)-\cos(b)\cos(d)}{\sin(b)\sin(d)}=0.97565 \implies e=12.6703^o\)
\(\cos(140+f)=\frac{\cos(b)-\cos(a)\cos(d)}{\sin(a)\sin(d)}=-0.97490 \implies 140+f=167.13695 \implies f=27.13695^o\)
Nu ses på trekanten med de to fyr og punktet, der skal bestemmes, \(X\). Her kendes to vinkler, \(f, (40+e)\) samt den mellemliggende side, \(d\). Derfor benyttes den anden formel
\(\cos(g)=-\cos(f)\cos(40+e)+\sin(f)\sin(40+e)\cos(d)=-0.17698 \implies g=100.19392^o\)
Den anden formel benyttes igen til at bestemme \(h\).
\(\cos(h)=\frac{\cos(f)+\cos(g)\cos(40+e)}{\sin(g)\sin(40+e)}=0.999988099 \implies h=0.27953^o\)
Til sidst ses på trekant \(N, CDA, X\) og \(j\) bestemmes ud fra den første formel
\(\cos(j)=\cos(h)\cos(b)+\sin(h)\sin(b)\cos(40)=0.82130 \implies j= 34.78477^o \implies X_{bredde}= 55.21523^o= 55^o\,12'\,54.8'' \)
Dette resultat afviger kun med 1 buesekund fra det tidligere beregnede resultat ud fra vektorer. Afvigelsen skyldes uden tvivl små numeriske fejl.
\(k\) beregnes ud fra samme princip og længdegraden kan bestemmes. Afvigelsen svarer til 31 meter.
Jeg vil mene, at dette er en korrekt matematisk beregning. Jeg håber du får glæde af den. Hvis du i virkeligheden ønsker at beregne din position ud fra to VOR-målinger, mens du flyver, vil jeg mene, at det må være bedre at anskaffe en GPS-måler, der samtidig kan levere højden over jordoverfladen.
Re: Navigation
Hej Jens,
wow det var en større omgang, jeg vil tage mig lidt tid til at gennemgå din løsning. Jeg håber det er ok hvis jeg kommer tilbage med et spørgsmål eller 2 ?
Og ja du har nok ret i din antagelse mht. GPS & Højden! Højden havde jeg vidst ikke lige med i min formulering!
Jeg takker indtil da for den tid du har taget dig for at finde løsningen :)
Mange takker
Henrik
wow det var en større omgang, jeg vil tage mig lidt tid til at gennemgå din løsning. Jeg håber det er ok hvis jeg kommer tilbage med et spørgsmål eller 2 ?
Og ja du har nok ret i din antagelse mht. GPS & Højden! Højden havde jeg vidst ikke lige med i min formulering!
Jeg takker indtil da for den tid du har taget dig for at finde løsningen :)
Mange takker
Henrik