Velkommen til Matematikcenter online forum
Opret dig som bruger og få gratis adgang til Danmarks eneste gratis matematikhjælp for alle.
Har du allerede en bruger? Log ind her.

Bevis forskudt eksponentiel vækst

AB0131
Indlæg: 22
Tilmeldt: 04 mar 2022, 13:20

Bevis forskudt eksponentiel vækst

Indlæg af AB0131 »

Hej!
Jeg arbejder med et bevis for forskudt eksponentiel vækst, altså at y' = b - ay har den fuldstændige løsning y = b/a + c * e^-ax.
Beviset bygger på separation af de variable, og vi fik at vide, at for at anvende metoden skal b - ay ≠ 0 og y ≠ b/a. - Jeg kan dog ikke se, hvorfor det ikke må være tilfældet.
I den forbindelse står der følgende: "Hvis y = b/a er y' = 0 og b - a*y = b - a * b/a = b - b = 0. Så løsningen y = b/a opfylder differentialligningen." - Hvad skal det betyde?
Jeg får nemlig dernæst at vide, at vi fortsætter med separationen, idet vi nu antager, at y ≠ b/a.

Jeg håber, at der er nogen, der kan komme med en uddybende forklaring, da jeg er ret forvirret.
JensSkakN
Indlæg: 1200
Tilmeldt: 17 mar 2020, 12:33

Re: Bevis forskudt eksponentiel vækst

Indlæg af JensSkakN »

Jeg går ud fra, at du forstår:
"Hvis y = b/a er y' = 0 og b - a*y = b - a * b/a = b - b = 0.
idet jeg dog ville foretrække
"Hvis y = b/a er y' = b - a* (b/a) = b - b = 0 hvilket medfører, at y er konstant."
Derfor er den konstante løsning y = b/a en løsning til differentialligningen.

Den videre behandling i din bog forudsætter nemlig at y ikke er b/a. Man dividerer nemlig med (y - b/a) og man må ikke dividere med 0.

Jeg håber, at dette hjalp dig. Hvis jeg ikke har spottet dit problem men du prøve at spørge igen, og hjælpe mig med at forstå, hvor dit problem ligger.
Systemet er lige blevet opdateret og latex virker ikke; derfor kan jeg ikke bruge det.
ringstedLC
Indlæg: 624
Tilmeldt: 22 okt 2017, 18:05

Re: Bevis forskudt eksponentiel vækst

Indlæg af ringstedLC »

y = b/a => y ' = 0
y ' = 0 = b - ay => "ingenting" og slet ikke at y skulle være en logistisk vækst.
JensSkakN
Indlæg: 1200
Tilmeldt: 17 mar 2020, 12:33

Re: Bevis forskudt eksponentiel vækst

Indlæg af JensSkakN »

JensSkakN skrev: 18 sep 2022, 22:20 Jeg går ud fra, at du forstår:
"Hvis y = b/a er y' = 0 og b - a*y = b - a * b/a = b - b = 0.
idet jeg dog ville foretrække
"Hvis y = b/a er y' = b - a* (b/a) = b - b = 0 hvilket medfører, at y er konstant."
Derfor er den konstante løsning y = b/a en løsning til differentialligningen.

Den videre behandling i din bog forudsætter nemlig at y ikke er b/a. Man dividerer nemlig med (y - b/a) og man må ikke dividere med 0.

Jeg håber, at dette hjalp dig. Hvis jeg ikke har spottet dit problem må du prøve at spørge igen, og hjælpe mig med at forstå, hvor dit problem ligger.
Systemet er lige blevet opdateret og latex virker ikke; derfor kan jeg ikke bruge det.
AB0131
Indlæg: 22
Tilmeldt: 04 mar 2022, 13:20

Re: Bevis forskudt eksponentiel vækst

Indlæg af AB0131 »

Tak for svar!
Jeg ved ikke, om jeg overser noget, men jeg kan ikke se, hvorfor vi forudsætter, at b - ay ≠ 0 og y ≠ b/a og at der samtidig skrives, at vi ikke kan antage dette for at kunne anvende metoden separation af de variable. Skal det betyde, at man ikke kan lave separation af de variable, hvis den ene side er lig 0, men hvorfor skulle det ikke kunne lade sig gøre?
Hvad får man ud af at opstille disse betingelser, og hvad ville det resultere i, hvis ikke man forudsatte, at b - ay ≠ 0 og y ≠ b/a.

Når der så skrives "hvis y = b/a er y' = 0 og b - a*y = b - a * b/a = b - b = 0 - så løsningen y = b/a opfylder differentialligningen".
Hvor vil man hen med dette? Og hvad betyder "så løsningen y = b/a opfylder differentialligningen".

Jeg beklager, hvis min formuleringer virker uklare. Dog tror jeg, at jeg er så forvirret, at det går hen og bliver svært at sætte ord på det, jeg ikke forstår.
Jeg forsøgte at vedhæfte et billede af selve beviset, men får blot at vide, at filen er for stor.
ringstedLC
Indlæg: 624
Tilmeldt: 22 okt 2017, 18:05

Re: Bevis forskudt eksponentiel vækst

Indlæg af ringstedLC »

Vi har kun 1 Mb til rådighed pr. vedhæftning.
Men prøv at klippe filen i mindre stykker.
AB0131
Indlæg: 22
Tilmeldt: 04 mar 2022, 13:20

Re: Bevis forskudt eksponentiel vækst

Indlæg af AB0131 »

Ligegyldigt hvor lille jeg gør billedet, er filen fortsat for stor. Jeg har derfor linket til et dokument, hvor billedet er indsat (:
Link: https://docs.google.com/document/d/1pYH ... sp=sharing
JensSkakN
Indlæg: 1200
Tilmeldt: 17 mar 2020, 12:33

Re: Bevis forskudt eksponentiel vækst

Indlæg af JensSkakN »

Har du læst det, jeg skrev til dig?
Når jeg prøver at bruge dit link, får jeg at vide, at siden ikke findes. Men det gør ikke noget, for jeg ved stort set, hvad der står. Nu prøver jeg at gengive dette.
Desværre virker latex stadig ikke, så jeg kan ikke skrive det pænt.
Vi har y' = b - a*y = -a*(-b/a + y)
Det er underforstået, at a og b er konstanter, mens y er en funktion af x.
Vi indfører nu en ny variabel, som vi kalder z, der defineres ved z = -b/a + y.
z er derfor også en funktion af x og der gælder, at dz/dx = dy/dx. De har sammen differentialkvotient.
Vi har fået ændret differentialligningen til dz/dx = -a*z eller z' = - a*z
Nu bruger vi metoden med separation af de variable. Alt med z samles på den ene side og alt med x på den anden.
dz/z = -a*dx
Men inden jeg gør dette, skal jeg huske at tage et forbehold. Jeg har nemlig divideret med z på begge sider, og det er ikke tilladt at dividere med 0.
Jeg er derfor nødt til at forlange, at z er forskellig fra 0. Men hvad nu, hvis z var lig 0? Så opdager jeg, at hvis z = 0, så behøver jeg slet ikke separere de variable. Så har jeg nemlig ligningen dz/dx = 0 og den kan jeg godt løse. Det giver z = konstant. Hvis vi oversætter tilbage til y, giver det y - b/a = konstant. Men i det tilfælde var y - b/a = 0, dvs y = b/a. Derfor er funktionen y = b/a for alle x en løsning til differentialligningen. I det tilfælde kan man ikke bruge metoden med at separere de variable. Det kan ikke lade sig gøre, fordi man ikke må dividere med 0, og det skrev jeg også i mit forrige indlæg.
Du skriver: "der samtidig skrives, at vi ikke kan antage dette for at kunne anvende .." det burde være " at vi er nødt til at anvende dette for at kunne separere de variable".
Måske er problemet, at du ikke har forstået, hvad en differentialligning er for en mærkelig størrelse.
AB0131
Indlæg: 22
Tilmeldt: 04 mar 2022, 13:20

Re: Bevis forskudt eksponentiel vækst

Indlæg af AB0131 »

Jeg har læst det, du har skrevet til mig, og det kan også sagtens være, at jeg ikke helt kan overskue alt det emnet om differentialligninger indebærer. Problemet er dog, at mit bevis slet ikke forløber på den måde, men det ville dog ikke undre mig, at det, du har beskrevet, stadig kan anvendes. Beviset du forklarer, hvor man indfører Z, er godt nok et bevis for forskudt eksponentiel vækst og også den, der er beskrevet flere steder på internettet, men min lærer har valgt, at vi skal følge et bevis, som han vist selv har lavet og som forløber anderledes - nemlig, hvor man laver en inddeling i tre tilfælde.

Jeg vil nedenfor skrive, hvordan beviset forløber (altså blot det, der også beskrives i dokumentet):
Sætning:
Vi ønsker at bevise, at y' = b-a*y => y = b/a + c * e^-ax, hvor c er en reel konstant.

Bevis:
Vi bygger videre på separation af de variable og inddeler i den sammenhæng i tre tilfælde.
For at anvende metoden skal b - ay ≠ 0 og y ≠ b/a. Dette bruges senere.
Og hvis jeg har forstået det rigtigt, så må b-ay ikke være lig 0, da vi senere har b-ay i nævneren, og man kan netop ikke dividere med 0.

1) I tilfælde 1 antager vi, at y=b/a, hvilket giver os, at dy/dx = b - a * (b/a) = 0

Er det så her, vi ser på, hvad der ville ske, hvis y rent faktisk var lig b/a?
Så står der, at dette opfylder også løsningsformlen med c = 0, altså at det passer med at c=0, samt at løsningen y = b/a opfylder differentialligningen. Jeg regner med, at dette betyder, at differentialligningen i sætningen har en løsning, som er en konstant funktion.
Men hvor kommer c=0 ind i billedet? Er det fordi, at den konstante funktion, der er en løsning til differentialligningen er y = b/a, som netop opnås, når c = 0?

Vi fortsætter derefter med separationen, idet vi nu antager, at y ≠ b/a. - Hvorfor er det et problem, at y er forskellig fra b/a. Er det fordi, vi ønsker at finde frem til den løsning, der indgår i beviset, og derfor tager man blot højde for, at differentialligningen også har en anden løsning, som man bliver nødt til at eliminere, fordi den ikke stemmer overens med sætningen?

Det er netop denne indledning, eller det første tilfælde, der forvirrer mig.

Bagefter separerer vi de variable, hvor venstresiden klares ved substitution.
Når vi er nået i mål med alt dette står der
ln/b-a*y/ = -ax - a * c1

I de næste to tilfælde antager man hhv., at y > b/a og dernæst at y<b/a.
Skyldes det, at vi forudsatte, at y skulle være forskellig fra b/a, hvorfor den enten må være større eller mindre?


Og endnu engang tak for tålmodighed.
JensSkakN
Indlæg: 1200
Tilmeldt: 17 mar 2020, 12:33

Re: Bevis forskudt eksponentiel vækst

Indlæg af JensSkakN »

Du har forstået det meste korrekt. Der er praktisk taget ingen forskel på din lærers bevis og mit, selv om det ser sådan ud fra dit synspunkt.
'Vi bygger videre på separation af de variable og inddeler i den sammenhæng i tre tilfælde.'
dette er ikke helt korrekt, det er kun i de to tilfælde ud af tre, at vi separerer.
'Er det så her, vi ser på, hvad der ville ske, hvis y rent faktisk var lig b/a?'
det er jo det, du har antaget.
'Men hvor kommer c=0 ind i billedet? Er det fordi, at den konstante funktion, der er en løsning til differentialligningen er y = b/a, som netop opnås, når c = 0?' Ja, netop
'Hvorfor er det et problem, at y er forskellig fra b/a.'
det er ikke et problem, men det er en forudsætning for at komme videre.
'Er det fordi, vi ønsker at finde frem til den løsning, der indgår i beviset, og derfor tager man blot højde for, at differentialligningen også har en anden løsning, som man bliver nødt til at eliminere, fordi den ikke stemmer overens med sætningen?'
Nej, Ud fra DL alene, er der uendelig mange løsninger. Ud fra DL og et enkelt punkt, er der kun én løsning, og det er den vi finder ved metoden.
'Det er netop denne indledning, eller det første tilfælde, der forvirrer mig.'
håber, at det nu har hjulpet.
'Bagefter separerer vi de variable, hvor venstresiden klares ved substitution.'
denne substitution svarer præcis til det z, jeg indfører. Men bemærk at separationen kun kan lade sig gøre , når y er forsk. fra b/a.
'I de næste to tilfælde antager man hhv., at y > b/a og dernæst at y<b/a.'
det første tilfælde giver c < 0 og det andet giver c > 0.
'Skyldes det, at vi forudsatte, at y skulle være forskellig fra b/a, hvorfor den enten må være større eller mindre?'
ja
Besvar