Velkommen til Matematikcenter online forum
Opret dig som bruger og få gratis adgang til Danmarks eneste gratis matematikhjælp for alle.
Har du allerede en bruger? Log ind her.

differentiation af en funktion

Besvar
Kath6631
Indlæg: 1
Tilmeldt: 02 jun 2022, 09:14

differentiation af en funktion

Indlæg af Kath6631 »

Hej jeg har fået dette spørgsmål:

Redegørelse for differentiation af funktionen f(x)=a*x2:

Jeg vil høre om der er nogle beviser mm. jeg kan inddrage til dette spørgsmål?
JensSkakN
Indlæg: 1200
Tilmeldt: 17 mar 2020, 12:33

Re: differentiation af en funktion

Indlæg af JensSkakN »

Her taler vi om hjælp under en eksamen.
Men da det ikke kan dreje sig om hjælp under en halv times forberedelse uden adgang til omverdenen (i så fald kommer hjælpen for sent), må det være ok at hjælpe dig.
Ja, der er et oplagt bevis. Du skal tage udgangspunkt i den såkaldte tretrinsregel, som definerer hvad det vil sige, at en funktion er differentiabel i et punkt, samt forklarer, hvordan man finder differentialkvotienten.
1. trin
Betragt to x-værdier, \(x_0\) samt \((x_0+h)\).
Beregn \(f(x_0)\) og \(f(x_0+h)\)
Svar \(f(x_0)=a\cdot {x_0^2}\,\,\) og \(f(x_0+h)=a\cdot{(x_0+h)^2}=a\cdot{x_0^2}+2a\cdot{{x_0}\cdot h}+a \cdot {h^2}\)
Beregn tilvæksten \(\Delta f= f(x_0+h)-f(x_0)=2a\cdot{{x_0}\cdot h}+a \cdot {h^2}\)
2. trin
Beregn differenskvotienten \(\,\,\,\) [Bemærk: dette er ikke det samme som differentialkvotienten]
\(\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac {2a\cdot{{x_0}\cdot h}+a \cdot {h^2}}{x_0+h-x_0}=2a\cdot {x_0}+a\cdot h\)
3. trin
Undersøg om differenskvotienten har en grænseværdi for \(h\rightarrow 0\,\) [Læs: for h gående mod 0.
Svar: Det har den. Deraf følger, at funktionen er differentiabel.
Grænseværdien bliver \(2a\cdot {x_0}\).
Hermed er differentialkvotienten til \(f\) fundet i punktet \(x_0\). \(f'(x)_{x=x_0}=2a\cdot {x_0}\)
Dette kan også skrives \(f'(x)=2ax\)

Slutkommentar. Jeg kan ikke vide, om du har lært beviset på netop denne form. Du bør finde det i din egen lærebog.
Besvar