Inverse matrix

[MariaC]

Hej matematikforum

Jeg har fået denne opgave, som jeg helt enkelt ikke forstår hvordan i alverden jeg skal gribe an.

Jeg har fået givet denne matrixe.

Udklip0.PNG (27.96 KiB) Vist 12630 gange

Jeg har løst delopgave a, hvor jeg får dette resultat:

Udklip2.PNG (3.48 KiB) Vist 12630 gange

Nu ved jeg bare ikke hvad jeg skal stille op med delopgave b.

Udklip.PNG (2.05 KiB) Vist 12630 gange

Håber meget I kan hjælpe. Mange tak

[JensSkakN]

Jeg er da glad for, at du selv kunne regne a.
Men\((A^TA)^{-1}=A^{-1}{(A^T)^{-1}}\)
Det følger af, \(A^TAA^{-1}(A^T)^{-1}=A^T(AA^{-1})(A^T)^{-1}=A^T(A^T)^{-1}=\left( \begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1 \end{array} \right)\)
Du kender \(A^{-1}\). \((A^T)^{-1}\) er blot den transponerede af denne matrix.
Nu følger det af de almindelige regneregler, at elementet i tredje række, første søjle, kan findes som
\(2\cdot{(-7)}+1\cdot{(-4)} +0\cdot 1+0\cdot 1=-18\)
De to andre elementer, der spørges om, er indbyrdes ens.

[MariaC]

Jeg er godt med på hvad du gør, men ikke helt hvorfor man gør det. Her tænker jeg på den sidste del, hvor du skriver: "Nu følger det af de almindelige regneregler, at elementet i tredje række, første søjle[...]"

Hvordan kan det være at man ganger matrixerne nedad på den måde her på 1. søjle?

[JensSkakN]

Vi skal gange \(A^{-1}\) med \((A^T)^{-1}\)
Tredje række i \(A^{-1}\) er 2,1,0,0
Første søjle i \((A^T)^{-1}\) er -7, -4, 1, 1
Når du skal finde elementet i tredje række, første søjle, få du det resultat, jeg angiver.

[JensSkakN]

UNDSKYLD. Jeg har kludret rundt i det og skrevet noget forkert.
Jeg skriver lige det rigtige om lidt.

[MariaC]

Beklager virkelig hvis det er dumme spørgsmål.

Men i A^-1 er det så ikke 3. søjle du beskriver som 2,1,0,0? Og 3. række så er 1, -3, 0, -2.

Og tilsvarende med (A^T)^-1, hvor første søjle så må være -7, 31, 2, 25?

Edit: Ser først lige din seneste besked nu :)

[JensSkakN]

Tredje række i \(A^{-1}\) er 1,-3,0,-2
Første søjle i \((A^T)^{-1}\) er -7, 31, 2, 25
Når du skal finde elementet i tredje række, første søjle, får du
\(1\cdot {(-7)}-3\cdot {31}+0\cdot 2-2\cdot{25}=-150\)

[MariaC]

Super, så er jeg med :) Men når nu der står elementet i tredje række, første søjle, tror du så ikke der menes KUN det 3. tal i første søjle?

[JensSkakN]

hmmm
Jo, og dette tal er \(-150\) - mener jeg da.

[MariaC]

Min umiddelbare tanke var at man måske skulle gange A^-1 med (A^T)^-1 og deraf finde fx elementet i tredje række, første søjle. Hvis jeg gør det med lommeregner fås det element til at være 2

Udklips.PNG (1.85 KiB) Vist 12621 gange

Hmm