Webmatematik - Forum

Tilfældighed.

Jeg har udviklet et simuleringsprogram på pc for random walk.

Nu vil jeg høre om der er nogen, der kan hjælpe med en funktion.

Jeg mener at tid for et givet antal step (skridt på jorden) fx 100 med 1 step pr sek. med steplængde på 1m er 100^(1/2) .. er det ok? altså 10sek. for 10m.
Og tid for afstanden 1000m fra start (med samme opl.) bliver 1000^.5 = 31,62.. sek.

Det jeg er ude efter, er random walk i rummet i 3 dim. hvor den opnåede hastighed bibeholdes for næste step. (hvert step får et lille puf med samme kraft i een af seks random retninger)

Jeg har ledt og ledt - nogle siger, at det er nemt.. men de kommer aldrig med en løsning..

Mvh.
Georg

Nej, det du skriver er ikke OK. Det må dit Random Walk program også hurtigt kunne vise dig.
Hvis du tager 1 skridt af længden 1m, pr. sekund, så er middelværdien af den samlede afstand fra udgangspunktet \(\sqrt{t}\) m efter \(t\) sekunder.
Dette gælder både i en, to og tre dimensioner.
Jeg forstår ikke helt, at du kalder det en funktion. Jeg ville kalde det et resultat.
Du beder ikke om et argument og kommer heller ikke selv med et. Men jeg kan give dig et, hvis du ønsker det.
Jeg kender problemet og argumentet fra Systimes naturfagsbog fra omkring 1990. Bjørn Felsager var en af forfatterne og formentlig idemanden bag dette.

ok Tak

t=d^2 d=√t d=distance

Ved 1000 step på 1000 sek bliver den samlede afstand fra udgangspunkt √1000 = 31,62.. m.
Afstand på 31.62..m tager 31.62^2 sek => 1000sek i middelværdi


Gælder også i 3dim ?
I 3 dim er der jo mere volumen at bevæge sig rundt i?

Jeg er ikke 100% sikker på, at 31.62 m tager 1000 s i middelværdi. Det kan jeg muligvis blive ved at tænke mig grundigt om.
Jeg er helt sikker på, at efter 1000 s er middelværdien for kvadratet på afstanden 1000 \(m^2\).

Ja, det gælder også for 3 dimensioner. I øvrigt er volumen i 1 og 2 dimensioner 0, så det bliver større i 3 dimensioner.
Argumentet er, at du antager, at efter \(t\) s er du i punktet \((x,y,z)\).
Bemærk at kvadratet på afstanden til origo er \(x^2+y^2+z^2\)
Der er nu 6 muligheder. Du havner i et af punkterne \((x-1,y,z),(x+1,y,z),(x,y-1,z),(x,y+1,z),(x,y,z-1),(x,y,z+1)\)
og sandsynligheden for hver af disse er \(p=\frac 1 6\).
For hver af disse 6 muligheder beregner du kvadratet på afstanden til origo. Derefter tager du middelværdien. Det giver
\(\frac{x^2-2x+1+y^2+z^2+x^2+2x+1+y^2+z^2+x^2+y^2-2y+1+z^2+x^2+y^2+2y+1+z^2+x^2+y^2+z^2-2z+1+z^2+x^2+y^2+z^2+2z+1}6\)
\(\,\,=x^2+y^2+z^2+1\)
Det ses, at uanset, hvor du var havnet efter \(t\) s, så vokser kvadratet på afstanden til origo i snit med 1. Altså må middelværdien af kvadratet på afstanden til origo også vokse med 1. Derfor er den typiske afstand til origo \(\sqrt t\) efter \(t\) s.

Det er sådan en beregning der ligger til grund for beregning af den tid der går, fra fotoner i solens indre forlader den inderste del af solen, hvor fusionen foregår indtil de når grænsen mellem tilfældig spredning af fotoner til konvektion af plasma, hvilket vil sige at varm plasma stiger, men lidt koldere plasma synker, forholdsvis tæt på hinanden. Der er den forskel, at 'skridtlængden', fotonens fri middelvejlængde, kan variere. Grænsen ligger på 73% af radius fra solens centrum og tiden denne random walk varer er omtrent 100.000 år, måske noget længere. Tiden for konvektionsfasen er derimod kun 14 dage. Endelig tager det 8 minutter for en foton at nå fra Solens overflade ud til Jorden.

Jeg synes det er lidt difust.
Med en dimension:
Vi er vist enige om at tager man 1000 skridt af \(\pm 1\) meter af lige stor sandsynlighed så er standard afvigelsen for positionen \(\sqrt{1000} = 31,6\). Middelværdien er dog nul. I dette indgår tiden ikke men med et skridt per sekund er standard afvigelsen af positionen \(\sqrt{t}\)
Det eftervises let med en simulation . ( jeg fik en standard afvigelse på 31,5 i kun udført en gang)

Men middelværdien af afstanden som opnås er middelværdien af den absolutte værdi. Ca 25 m. I enten den ene retning eller den anden.

Hvis du vil se nogle plot ( men det har du vel) så kan jeg klippe nogen ud.

Random walk simuleret
Her er lidt detaljer om programmet


===================================================================================

Et step: find en af 4 retninger 2d
.
.
A = Int((Rnd *4) + 1) 'random retninger (A: 1 til 4)
R(A) = R(A) + 1
Tid = Tid + 1 ' step ( 1 step af 1 m på 1 sek. )
.
.
Plot: ' for at følge udvikling udad hvid, indad blå
Let X = ((R(1) - R(2))) 'h/v
Let Y = ((R(3) - R(4))) 'o/n
Plot X,Y
.
.

Let F1 = ((X * X) + (Y * Y)) ^ 0.5 '(F1 er aktuelt sted i cirklen, som har diameteren f . "f" er test-afstanden (meter))

If F1 >= f then GoTo SlutPlot ' (slut når cirklens inderside nås/overskrides)
.
.
Så nu indeholder "Tid" tiden for afstanden f ' (for step med længde 1 m pr tid) .
2d:
forsøg 1: kørsel af 500 tests på afstand 100 gav tid i gns.: 10267 sek. (10000)
forsøg 2: kørsel af 500 tests på afstand 100 gav tid i gns.: 10068 sek. (10000)
forsøg 3: kørsel af 1000 tests på afstand 200 gav tid i gns.: 39098 sek. (40000)
forsøg 4: kørsel af 1000 tests på afstand 200 gav tid i gns.: 39360 sek. (40000)

===================================================================================

Et step: find en af 6 retninger 3d
.
.
A = Int((Rnd *6) + 1) 'random retninger (A: 1 til 6)
R(A) = R(A) + 1
Tid = Tid + 1 ' step ( 1 step af 1 m på 1 sek. )
.
.
Plot: ' for at følge udvikling udad hvid, indad blå
Let X = ((R(1) - R(2))) 'h/v
Let Y = ((R(3) - R(4))) 'o/n
Let Z = ((R(5) - R(6))) 'i/u
Plot X,Y
.
.

Let F1 = ((X * X) + (Y * Y) + (Z * Z)) ^ 0.5 '(F1 er aktuelt sted i kuglen, som har diameteren f . "f" er test-afstanden (meter))

If F1 >= f then GoTo SlutPlot ' (slut når kuglens inderside nås/overskrides)
.
.
Så nu indeholder "Tid" tiden for afstanden f ' (for step med længde 1 m pr tid (sek) .
3d:
forsøg 1: kørsel af 500 tests på afstand f 100 gav tid i gns.: 10562 sek. (10000)
forsøg 2: kørsel af 500 tests på afstand f 100 gav tid i gns.: 9572 sek. (10000)
forsøg 3: kørsel af 1000 tests på afstand f 200 gav tid i gns.: 38709 sek. (40000)
forsøg 4: kørsel af 1000 tests på afstand f 200 gav tid i gns.: 39465 sek. (40000)

===================================================================================

Så det tyder på at tid for nå afstand f ved random walk er f^2 både for 2 og 3 dim.
Der er usikkerhed omkring det sidste step. Hvor afstanden opnås.

Nogen indvendinger?


Det jeg leder efter, er random walk i rummet i 3 dim. hvor den opnåede hastighed bibeholdes for næste step. (drift) (hvert step får et lille puf med samme kraft i een af seks random retninger)




Mvh.
Georg

Jeg har ikke set dit program igennem, men gør det evt. senere.
Det der gælder, er at efter 10000 skridt, er middelværdien af den kvadrerede afstand præcis 10000. Middelværdien af den absolutte afstand er en brøkdel af dennes kvadratrod. Denne brøkdel ligger tæt på \(\frac 4 5\), men er en svagt aftagende funktion af antal skridt. For 50000 skridt har jeg fået 0.798.
Sætningen med middelværdien af den kvadrerede afstand gælder eksakt også i 2 og 3 dimensioner. Men brøkdelen, der giver middelværdien af den absolutte afstand er formentlig en lille smule forskellig, men næppe meget.
Du formulerer et lidt andet problem. Nemlig hvornår passerer en partikel første gang en bestemt afstand? Jeg kender ikke nogen teori, der giver svaret for middelværdien af denne tid. Hvis teorien ikke findes, er det eneste man kan gøre, at kontrollere dit program. Men jeg vil gerne have bekræftet, at det faktisk er præcis den størrelse, du har brug for, inden jeg giver mig i kast med det. Kan du ikke forklare, hvad du helt konkret er i gang med at beregne? Er det noget kemi eller biologi?
Men jeg tror som sagt, at din hypotese er omtrent korrekt, men næppe eksakt. Er det vigtigt at kende det eksakte svar?

Hypotese: Kvantefluktuationer.
Opførsel af partikel i vakuum.

Jeg søger en funktion, der giver tiden, som går ved en given afstand, når en partikel påvirkes af kvantefluktuationer i rummet.
Giver det mening..

Mvh.
Georg

Ja, det giver da en vis mening. Du beskæftiger dig altså med teoretisk fysik.
Men kunne du ikke have lige så stor glæde af at vide hvor lang tid der går, indtil middelværdien af kvadratet på den afstand, partiklerne har bevæget sig, har en vis værdi? Skal det være tiden indtil den første partikel når ud til en given afstand? Bevæger partiklerne sig i øvrigt lige langt ved hver fluktuation? De kan vel også bevæge sig i mere end 6 retninger?
Pointen med disse spørgsmål er, at det måske giver lige så meget mening at beregne, hvor lang tid der går, indtil middelværdien af kvadratet på den afstand, partiklerne har bevæget sig, har en vis værdi.

Det er ikke særligt let at forstå hvad du gør.

I en dimension:

Antal trin ( din tid er lig antallet af trin ) som i gennemsnit skal til for at nå til -200 eller 200 første gang er i gennemsnit ca 40000.

Opnået ved at gå enten i plus retning eller i negativ retning i hvert trin hver med en sandsynlighed på 50%.

Men er det hvad du gør?
For hvert sekund får din partikel både et skub ( enten positivt eller negativt) i x retning og i y retning og i z retning eller kun i en retning af gangen?

Men dine tal tyder på at du enten skubber eller ikke skubber med 50% sandsynlighed og hele diden i den samme retning.

Kan du beskrive det for dine formler kan ikke gennemskues.