Maxwells ligninger

[MC Smiley]

Calculus er ikke min stærke side i matematik. Har prøvet at kigge på tidligere opgaver og lign., men har ikke kunne vikle mit hoved rundt om dette problem.
Er der en venlig sjæl, der kan hjælpe mig med at forstå og løse disse to opgaver, hhv. opg (v) og (vi)?

[JensSkakN]

Hvis du har løst de første opgaver, burde du også kunne forstå disse løsninger, som er 'trivielle', men noget omstændelige.

Opgave (v)
\(curl(E_{osc})(x,t)=\left( \begin{array}{c} \frac{\partial \varepsilon_3\cos(\omega t-k_1 x_1-k_2 x_2-k_3 x_3)}{\partial x_2}-\frac{\partial \varepsilon_2 \cos(\omega t-k_1 x_1-k_2 x_2-k_3 x_3)}{\partial x_3}\\ \frac{\partial \varepsilon_1\cos(\omega t-k_1 x_1-k_2 x_2-k_3 x_3)}{\partial x_3}-\frac{\partial \varepsilon_3 \cos(\omega t-k_1 x_1-k_2 x_2-k_3 x_3)}{\partial x_1}\\ \frac{\partial \varepsilon_2\cos(\omega t-k_1 x_1-k_2 x_2-k_3 x_3)}{\partial x_1}-\frac{\partial \varepsilon_1 \cos(\omega t-k_1 x_1-k_2 x_2-k_3 x_3)}{\partial x_2} \end{array} \right)\)

Men da \(\frac{\partial \varepsilon_3\cos(\omega t-k_1 x_1-k_2 x_2-k_3 x_3)}{\partial x_2}={{\varepsilon_3}\cdot{(-k_2)}}\cdot{(-\sin(\omega t-k_1 x_1-k_2 x_2-k_3 x_3))}\,\,\), bliver

\(curl(E_{osc})(x,t)=\left( \begin{array}{c}{({\varepsilon_3}\cdot{k_2}-{\varepsilon_2}\cdot{k_3})}\cdot{\sin(\omega t-k_1 x_1-k_2 x_2-k_3 x_3)}\\{({\varepsilon_1}\cdot{k_3}-{\varepsilon_3}\cdot{k_1})}\cdot{\sin(\omega t-k_1 x_1-k_2 x_2-k_3 x_3)}\\{({\varepsilon_2}\cdot{k_1}-{\varepsilon_1}\cdot{k_2})}\cdot{\sin(\omega t-k_1 x_1-k_2 x_2-k_3 x_3)} \end{array} \right)={(k\times \varepsilon)}\cdot{\sin(\omega t-k \cdot x )}\)

[JensSkakN]

Opgave (vi)
At \(div(E_{osc}(x,t))=0\)
følger af (iv), da \(k\cdot {\varepsilon}=0\)
At \(div(B_{osc}(x,t))=0\)
følger af \(\mathcal{B}\cdot k=0\)
Ifølge (v) er \(curl(E_{osc})(x,t)={k\times {\varepsilon}}\cdot {\sin(\omega t-k \cdot x)}\)
\(\frac{-\partial {B_{osc}}}{\partial t}={{\mathcal{B}}\cdot {\omega}}\cdot {\sin(\omega t-k \cdot x)}\)
Men \({\mathcal{B}}\cdot {\omega}={k\times {\varepsilon}}\)
Dermed er også den tredje Maxwell ligning opfyldt.

\(curl(B_{osc})(x,t)=k\times {\mathcal{B}} \sin(\omega t-k\cdot x)\)
Men \(k \times {\mathcal{B}}=\frac 1 {\omega}k \times {(k\times {\varepsilon})}=\frac {-|k|^2}{\omega}{\varepsilon}=\frac{-\omega ^2}{c^2\omega}{\varepsilon}=-\frac {\omega}{c^2}{\varepsilon}\)
og \(\frac{\partial E_{osc}}{\partial t}=-{\omega}\cdot {\varepsilon} \sin(\omega t-k\cdot x)\)
så
\(curl(B_{osc})(x,t)=\frac 1 {c^2}\frac{\partial E_{osc}}{\partial t}=\mu_0\epsilon_0 \frac{\partial E_{osc}}{\partial t}\)
Dermed er også den fjerde Maxwell ligning opfyldt.