Rette linjer #5

[DryWind4]

Okay puha, der er meget information...

Spg 1: Argumentér ud fra figur 1 for, at vi har to retvinklede trekanter med kateter på 1 og a samt 1 og −c.

Hvis vi kigger på figur 1 kan vi se 2 rette linjer. En blå og en grøn. Hvis vi laver en linje ud fra deres skæringspunkt, og laver den linje, så den linje er præcist '1' lang. Så måler vi den lodrette afstand op til den blå linje, og ned til den grønne linje. Afstanden op til den blå linje kalder vi for 'a' og afstanden ned til den grønne linje kalder vi for '-c'. Vi kan nu se at vi har 2 retvinklede trekanter, altså trekanter med en vinkel på 90 grader i vinkel. Vi kan se kan se at vi har 3 kateter i form af 'a', '1' og '-c'. De resterende 2 er hypotenuser.

Spg 2: Skriv Pythagoras' sætning op for hver af de to retvinklede trekanter (se figur 2).



a^2+1^2 = h1^2
(-c)^2+1^2 = h2^2

Det må så være det?



Vi har nu et udtryk for både h1^2 og h2^2. Herudover ved vi, at den lodrette side i den store trekant på figur 3 har længden a−c.

Spg 3: Argumentér for, at den store trekant i figur 3 er retvinklet og brug Pythagoras' sætning til at vise, at a· c = −1.

Vi kan jo starte med at rotere trekanten og se at den har en vinkel på 90 grader, den er altså retvinklet.



Jeg ser så ikke lige helt sikker på hvordan jeg skal besvare det andet delspørgsmål med pythagoras til at bevise at ac=-1...

Vi ved så at

(a-c)^2 = h1^2+h2^2

Hvad er h1? Er hvis man laver pythagoras på den let større trekant.

h1^2 = 1^2 + a^2

h2 er så det samme som pythagoras på den mindre trekant

h2^2 = 1^2 + (-c)^2

(-c)^2 ophæver '-', så vi får c^2

Hvad er så (a-c)^2?



Når minusser siden 'a' med siden '-c'. Men da (-c)^2 er det samme som c^2. Så siden 'c' i pythagoras sætning her, altså hypotenusen er siden a minus siden (-c). Det skriver vi så som a^2+(-c)^2 = a^2+c^2

1+h1^2+1+h^2 = (h1-h2)^2 = h1^2+h2^2-2*h1 + h2

1+h1^2+1+h^2 = 2+h1^2+h2^2

2+h1^2+h2^2 = h1^2+h2^2-2*h1 + h2

Må erkende jeg har mistet overblikket, jeg prøvede at følge denne video, men synes ikke det gav mening til sidst da han begyndte at reducere tingene.

https://www.youtube.com/watch?v=ouAWrEOvJ_4

[number42]

Ja han rodede lidt i videoen.

men vi havde jo for de små trekanter \(1+ a^2 = h_1^2\) og \(1+ c^2 = h_2^2\)
Og for den store trekant \(h_1^2+h_2^2 = (a-c)^2\)

Det er -c fordi det er et positivt tal og vi skal have afstanden for hypotenusen a+(-c)

Så ar det bare at massere lidt på tallene, vi snupper\(h_1^2\) og \(h_2^2\) fra de to første ligninger og indsætter dem i den sidste ligning:

h_1^2+h_2^2 = (a-c)^2 giver så \(1+ a^2 +1+ c^2 = (a-c)^2\) så ganger vi højre siden ud og \(1+ a^2 +1+ c^2 = a^2+c^2 -2 a c\)^

venstre siden summeres \(2 + a^2+c^2 = a^2+c^2 - 2a c\) og alle kvadrat tallene forsvinder ud mon hinanden så \(2 = -2 a c\) bliver til overs. divider med 2 på begge sider og 1 = - a c det samme som -1 = a c hvad var det vi skulle bevise.

Hjalp det?

[JensSkakN]

Hjalp det? Det gjorde det måske/formentlig.

Men efter min mening har du (DryWind4) også brug for at få vide, hvor du selv begår fejl. Det er den eneste måde at undgå at begå dem igen.
Hvis du er uenig i det synspunkt, er du velkommen til at skrive, at du er tilfreds med at få den korrekte løsning fra number42, så skal jeg nok stoppe mine kommentarer i disse situationer.

Spg 1
Du kan ikke 'se' om en vinkel er 89.9, 90 eller 90.1 grader. Argumentet for at vinklen er ret, er at lodret er vinkelret på vandret, og de to kateter er netop tegnet lodret og vandret. Dette gælder for hver af de to små trekanter.
Spg 2
Samme fejl. Det hjælper ikke at rotere. Argumentet for at trekanten er retvinklet, er, at det var forudsat i opgaven at de to linjer var tegnet, så den ene er vinkelret på den anden.
Så kommer vi til anvendelsen af Pythagoras. Efter min opfattelse har du gjort det korrekt under den store boks med \(a^2+b^2=c^2\), men det er faktisk en fejl at skrive \(a^2+b^2=c^2\), fordi \(a,b,c\) betyder noget andet end det sædvanlige her. Men det er en fejl, som stort set alle begår efter folkeskolen, men som jeg altså har lært (forsøgt at lære) mine elever ikke at begå.

Så skriver du
Når minusser siden 'a' med siden '-c'. Men da (-c)^2 er det samme som c^2. Så siden 'c' i pythagoras sætning her, altså hypotenusen er siden a minus siden (-c). Det skriver vi så som a^2+(-c)^2 = a^2+c^2

Her er der flere fejl. For det første 'plusser' du siden med længde \(a\) med siden med længde \(-c\). Så hypotenusen i den store trekant er siden \(a\) PLUS siden med længde \(-c\).
Den mest alvorlige fejl, er når du kvadrerer denne hypotenuse
\((a-c)^2=a^2+c^2-2 \cdot {a\cdot c}\)
Det er den fejl, der gør, at du ikke kan komme i mål og mister overblikket.

[DryWind4]

@number42



Mener du ikke



Hvis det et pythagoras sætning? Eller hvorfor er '1' ikke i anden?



Grunden til at vi får denne opstillingen er det bare en anden måde at skrive pythagoras sætning på med disse værdier? Det går fra h1^2 til 1+a^2, men igen hvorfor er 1 tallet ikke i anden?



Jeg forstår selvfølgeligt godt at du kan lægge dem sammen, og hvis du så vil have 'a^2' over på den anden side af lighedstegnet må du jo minusse med det på begge sider, også forsvinder det jo, det er vel logikken?

Det er ikke let for mig. Men jeg tror faktisk godt hvis jeg er langsom og følger det du skriver, så forstår jeg det hele udover det der '1' der ikke er i anden i starten og hvordan vi går fra h1 i anden og h2 i anden til '1'+a^2+'1'+c^2.

Forvirrer mig lidt med det '1'-tal, da alt er i anden undtagen det, og troede vi brugte pythagoras hvor både a og b er i anden for at få c i anden.

[DryWind4]

@JensSkakN

Først og fremmest ved jeg ikke lige hvordan jeg tagger folk herinde så du kan se min besked. Så hvis i er i besiddelse af den viden, modtager jeg den gerne så jeg bedre kan respondere og i kan få en notifikation.

"Men efter min mening har du (DryWind4) også brug for at få vide, hvor du selv begår fejl. Det er den eneste måde at undgå at begå dem igen.
Hvis du er uenig i det synspunkt, er du velkommen til at skrive, at du er tilfreds med at få den korrekte løsning fra number42, så skal jeg nok stoppe mine kommentarer i disse situationer."

Altså først og fremmest er jeg taknemmelig over at der overhovedet findes folk som jer som gider frivilligt at bruge jeres tid på at hjælpe mig. Det er ikke en selvfølge og ikke noget jeg tager for givet. Jeg er heldig. Det er meget værdsat da matematik er klart et af mine svageste fag. Så jeg er glad for alt den støtte og support jeg modtager, da jeg helt sikkert ville være i en langt mere udfordret position ud den støtte.

For at svare på spørgsmålet sætter jeg skam stor pris på at du kommenterer og nitpicker alle fejl jeg har. Jeg foretrækker selv at man siger tingene ligeud og ikke lægger fingre imellem. Matematik er jo et fag hvor enten er det rigtigt det man gør ellers er det forkert, og hvis man ikke får påpeget fejlene, jamen, så er det jo bare forkerte resultater jeg ender op med, eller 'coden' jeg bruger virker ikke, fordi der er fejl. Så det er da kun fedt at du har lyst til at påpege de ting, så jeg bliver bevidst om det.



Tænker du at det er fejlagtigt at jeg tager sætningen med for at støtte mig op ad den, eller hvad tænker du? Det er fejlagtigt fordi vi allerede har en a værdi, og vi ikke har en b og en c værdi. Altså det har vi jo på en måde, men ikke med de bogstaver, og derfor bliver det forvirrende?

[DryWind4]

@number42 er det fordi 1^2 bare er '1'?

[DryWind4]

Fandt den her, den er lidt kønnere at se på måske.

[DryWind4]

Begynder at lysne lidt nu og give mening tror jeg. Min største svaghed ved matematik er bare når jeg har en masse detaljer, og kegler jeg skal jonglere på én gang, og det er der ofte. Så kan jeg let tabe det hele på gulvet og miste overblikket, og da matematik også er abstrakt oven i hatten hvor a betyder x, og y betyder x+3 osv, så kan man hurtigt tabe alle keglerne og fare vild.

[ringstedLC]

@number42 er det fordi 1^2 bare er '1'?

\(1^{n}=1\)
Ligegyldigt hvor mange gange du ganger "1" med sig selv, får du én.

NB. For at referere til et tidligere indlæg i tråden, kan man bruge knappen "Svar med citat" yderst tv.

[JensSkakN]

Du behøver vist ikke spekulere på, hvordan vi får dit indlæg at se. Vi skal nok se det.

Du skriver
Tænker du at det er fejlagtigt at jeg tager sætningen med for at støtte mig op ad den, eller hvad tænker du? Det er fejlagtigt fordi vi allerede har en a værdi, og vi ikke har en b og en c værdi. Altså det har vi jo på en måde, men ikke med de bogstaver, og derfor bliver det forvirrende?

Netop. (der indgik et b og et c i linjens ligning). Skal du støtte dig op ad en sætning, burde det være 'I en retvinklet trekant er summen af kateternes kvadrater lig kvadratet på hypotenusen.'

Når jeg i en 1G spurgte, om de kendte Pythagoras læresætning, fik jeg altid svaret: Ja, \(a^2+b^2=c^2\). Så prøvede jeg at være pædagogisk og sagde: Men det forstår jeg ikke. Hvis \(a=7\) og \(b=3\) og \(c=6\), så passer det da ikke...
'