Differentialligning - gættemetode partikulær og fuldstændig løsning

[JoeMcJohn]

Hej MatForum

Jeg har 3 differentialligninger:
Nr1: y'(t)+7y(t)=7t^2+9t
Nr2: y'(t)+7y(t)=60e^(-5t)*cos(4t)
Nr3: y'(t)+7y(t)=7t^2+9t+60e^(-5t)*cos(4t)

Jeg skal anvende gættemetoden til at bestemme en partikulær løsning til differentialligningerne 1 og 2.
Når de er bestemt skal jeg ud fra de partikulære løsninger bestemme den fuldstændige løsning til nr. 3.

Det skal beregnes i hånden.

Jeg synes virkelig at differetnailligninger på denne måde er enormt svært, så håber I kan hjælpe mig med hvordan man skal tackle en sådan problemstilling. Vil nemlig enormt gerne blive bedre til emnet :)

[JensSkakN]

Den første er ikke så svær at gætte sig til.
Man prøver \(y(\,t)\,=t^2+a\cdot t+b\)
\(a,\,b\) kan bestemmes ved indsætning.
Den næste er noget vanskeligere. Faktisk er det korrekte gæt
\(y(\,t)\,=6e^{-5t}(\,\cos(\,4t)\,+2\sin(\,4t)\,)\,\).
Men hvordan får man sådan en ide?
Det får man ved at bruge formlen
\(e^{it}=\cos(\,t)\,+i \cdot \sin(\,t)\,\)
\(i\) står her for den imaginære enhed, \(\sqrt {-1}\)
Denne formel må du have lært.
Jeg vil gerne hjælpe dig videre, men jeg må have lidt respons. Prøv at se, hvor langt du kan komme.

[JoeMcJohn]

Jeg har nu gættet det du skrev på første ligning og anden ligning, og fået frem til samme løsning som CAS. Så brugte jeg sturktursætning til at finde den fuldstændige løsning til nr 3.

Mange tak :)