Differentialligning - fuldstændige løsning

[JoeMcJohn]

Hej MatematikCenter

Jeg har denne problemstilling, som jeg ikke helt ved hvordan jeg skal gå til..

Jeg er givet denne differentialligning:

Udklip1.PNG (2.49 KiB) Vist 16899 gange

Jeg skal beregne den fuldstændige løsning til den tilsvarende homogene differentialligning.

[JensSkakN]

Den homogene differentialligning er den, hvor der i stedet står 0 på højre side.
Kender du metoden med separation af de variable? Må du bruge CAS?

[JoeMcJohn]

Beklager, jeg burde have nævnt at det skal løses uden CAS -
Ved ikke helt hvad du mener med seperation af de variable :

[JensSkakN]

Opgaven er noget speciel, for du skal IKKE løse den angivne differentialligning. Bemærk også. at det er mærkeligt, at der på højre side først står \(5-\) og så slutter det med \(+2\).
Det er vist nok meget vanskeligt at løse hele differentialligningen.
Men den homogene ligning er ikke så vanskelig. Du skal løse
\(y'(\,t)\,-{\frac {12}{t^2}} \cdot {y(\,t)\,}=0\)
Man indser, at \(y=0\) er en løsning. Hvis dette ikke er tilfældet omdannes ligningen-
\(\frac {dy}{dt}={\frac{12}{t^2}}\cdot{y(\,t)\,} \implies \frac {dy} y=12 \cdot{\frac{dt}{t^2}}\)
Bemærk, at nu står alt med \(y\) til venstre for lighedstegn, men alt med \(t\) står til højre.
Det er derfor teknikken kaldes 'separation af de variable'. Nu integreres på begge sider
\(ln|y|=-\frac{12}t+c\)
Dette kan omskrives til \(y(\,t)\,=k\cdot{e^{-\frac{12}t}}\) , \(k \in \mathbb{R}\), \(t>0\)
Hermed er den homogene differentialligning løst.
\(k=\pm e^c \vee k=0\)

[JoeMcJohn]

Det var godt nok en meget bedre forklaret tilgang, end det jeg har hørt for. Mange tak for hjælpen, Jens - du hjælper virkelig til min forståelse!