Beviser: primtal

[Jess123]

Jeg har brug for hjælp til disse opgaver for at vide om mine svar er rigtige

[JensSkakN]

Det ville være noget bedre, hvis du viste dine svar, som vi så kunne kommentere.
Jeg ved ikke, om du må gå ud fra sætningen om entydig primtalsfaktorisering. Hvis du må det, vil jeg mene, at a) er indlysende, for i så fald er alle n's divisorer potenser af 2 og den har derfor ingen ulige primtalsdivisorer og derfor ingen andre ulige divisorer end +1 eller -1.
b) Eksponenterne i den sidste parentes til venstre for = kan skrives som
\(k(\,m-1)\,,k(\,m-2)\,,....,k(\,m-(\,m-1)\,)\,\)
Hvis \(m\) er ulige er der derfor et lige antal led, så der er lige mange med + som med \(-\), ud over det sidste 1-tal. Nu er det nemt at vise at leddene tager hinanden to og to og tilbage står resultatet.
d) Hvis \(r\) ikke er en potens af 2, kan \(2^r\) skrives som \(2^{pj}+1\), hvor \(p\) er et ulige primtal og \(j\) er et helt tal.
Med \(p=3\) som eksempel, gælder nu
\(2^{3j}+1={(\,2^j+1)\,}\cdot{(\,2^{2j}-2^j+1)\,}\). Derfor kan \(2^{3j}+1\) ikke være et primtal. Beviset kan nemt udvides til ethvert ulige primtal.

[Jess123]

i a) har jeg skrevet dette. Kan du vise udregningen i b)

[JensSkakN]

Du skriver 'ikke andre tal end 2, der op'
Det skal være 'ikke andre primtal end 2, der går op'
Bemærk, at både 4, 8 , 16 osv. går op i 128.
Du bør slutte med: 'Herved ses, at de eneste ulige tal, der går op er \(\pm 1\)'

[JensSkakN]

Udregningerne i b)
\((\,2^k+1)\,(\,2^{km-k}-2^{km-2k}+2^{km-3k}-2^{km-4k}+.....-2^k+1)\,=\)
\(\,\,\,\,2^{km}+2^{km-k}-2^{km-k}-2^{km-2k}+2^{km-2k}+2^{km-3k}-2^{km-3k}+....-2^{2k}-2^k+2^k+1=\)
\(\,\,\,\,2^{km}+1\)

Jeg opdagede lige en fejl, som nu er rettet.

[Jess123]

Mange tak. Kan du uddybe opgave d)

[JensSkakN]

Ja, det jeg har skrevet er i hvert noget sludder. Undskyld. Jeg vender lige tilbage om lidt.

[JensSkakN]

Hvis n indeholder ulige primfaktorer, kan vi ifølge b) faktorisere \(2^n+1\), og så er dette tal ikke et primtal.
Altså hvis \(2^n+1\) er et primtal, må n kun have lige primfaktorer. Men der er kun 1 lige primtal, nemlig 2. Altså er \(n=2^r\)

[Jess123]

Kan du vise, hvordan du vil faktoriserer 2^n - 1? Og hvilken antagelse har du? Min lærer vil nemlig gerne have, at vi skal lave en antagelse i begyndelsen af beviset og forklare, hvilken form for bevis vi arbejder med dvs. (kontraposition, direkte bevis osv.)

[Jess123]

Desuden er der givet et hint til beviset i d)