Parametriseringer og omdrejningsflader

[Yarri]

Halløj,
Det her er mit første opslag. Jeg er ikke lige sikker på hvordan det foregår herinde, men here goes.

Er der en som kan hjælpe mig med delopgave 2 og 3, for jeg er helt på bar bund. Det ville være en stor hjælp!

Jeg kan fortælle så meget, at B^+(t) står for fluxen, og solfeltet er et vektorfelt som er defineret således: V(x,y,z) = <-cos(t), 0, -sin(t)> hvor t = [0, Pi]

Skærmbillede 2020-04-06 kl. 19.10.11.png (303.81 KiB) Vist 8428 gange

[JensSkakN]

Det foregår sådan, at vi hjælper dig efter bedste evne.
Det er en god ide, at du fortæller lidt om dit niveau. Jeg gætter på, at du læser til ingeniør.
Så vidt jeg kan se, beskriver det en situation, hvor solen passerer gennem zenith, altså lodret over solfangeren. Så måske skal man forestille sig, at det foregår på ækvator ved forårsjævndøgn.
Det havde været en del nemmere for mig at hjælpe dig, hvis du havde vist din løsning af delspørgsmål 1. Jeg er især i tvivl med hensyn til denne parametrisering. Nu prøver jeg at tænke det igennem og vender måske tilbage om lidt.

[JensSkakN]

Nu tror jeg, at jeg har fået styr på delspm. 1
Det er naturligvis ikke origo, der er ortogonal på solfeltet, men den plan, der indeholder halvcirklen.
Jeg ville dels bruge en vinkel \(\theta\), som er vinklen mellem en lodret plan og planen, der indeholder skyggegrænsen.
Det er samtidig solens højde over horisonten, målt i radianer. Derudover en vinkel \(\varphi\), der måles fra y-aksens positive retning til en linje fra origo ud til et punkt på skyggegrænsen.
Parametriseringen af A består så i at angive koordinaterne til et punkt på halvkuglen som
\begin{bmatrix}
x\\
y\\
z\\
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
{-\sin\varphi}\cdot{\sin \theta}\\
\cos\varphi\\
{\sin\varphi }\cdot{\cos\theta}\\
\end{bmatrix}
(mine latex-færdigheder rækker ikke til at få matricerne på samme linje)
Skyggegrænsen til et bestemt tidspunkt svarer nu til at bestemt valg af \(\theta\).
B må være et tal på ca \(\frac{1000 W}{m^2}\) gange tværsnitsarealet og for et bestemt valg af \(\theta\) får jeg tværsnitsarealet til \({\frac{\pi}{2}}\cdot{(1+\,\sin\theta)\,}\)
Endelig har jeg beregnet den totale energi til konstanten gange \({\frac{\pi}{2}}\cdot{(\,1+\frac{\pi}{2})\,}\)
Jeg føler mig langt fra sikker på, at dette er korrekt. især kan der være problemer med definitionen af vinkler og fortegn.
Men jeg vil prøve at arbejde videre med den næste.

[JensSkakN]

Delopgave 2 med en kegleformet solfanger.
Skyggegrænsen er her altid to rette linjer fra toppen af keglen ned til et punkt på cirklen.
Parametriseringen består så blot i angive punkterne på cirklen ved en vinkel \(\varphi\).
Skyggelinjen kan beskrives som en vektor med koordinaterne
\(\begin{bmatrix}
\cos\varphi\\
\sin\varphi\\
-1\\
\end{bmatrix}\)
Man skal forestille sig, at den udgår fra toppunktet.
Skyggelinjen er altid ortogonal på solfeltet
\(\begin{bmatrix}
-\cos\theta\\
0\\
-\sin\theta\\
\end{bmatrix}\)
Så skalarproduktet af disse to vektorer skal være 0. Det gør det muligt at bestemme \(\varphi\) ud fra \(\theta\).
Man skal nu forestille sig et cirkeludsnit, en lagkage, hvorfra der er fjernet et stykke, som projiceres på en plan vinkelret på solfeltet med en faktor \(\sin\theta\). dette kan bruges til at beregne \(B^+(\,t)\,\) og derefter den totale energi.
Jeg kigger videre på det senere, med mindre andre har svaret videre. Jeg hører meget gerne fra dig, om der noget jeg har misforstået og om det har hjulpet dig på vej.

[JensSkakN]

Det jeg skrev med bare at projicere et cirkeludsnit er ikke korrekt, for en del af tiden rager spidsen jo op over, Ved solopgang er tværsnittet en trekant med areal 1, men jeg kan lige nu ikke helt gennemskue, hvordan det skal gøres på andre tidspunkter.

[JensSkakN]

Jeg skrev
'Skyggelinjen er altid ortogonal på solfeltet.'
Det er ganske enkelt forkert. Tangentialplanen til solfangeren gennem skyggelinjen indeholder solfelts-vektoren.
Hvis L er en normalvektor til grundfladen, dvs
\(L=\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}\)
og S er den angivne skyggelinje-vektor
så findes normalvektoren til tangentialplanen som N=Sx(LxS), hvor x står for krydsproduktet. Man får
\(L=\begin{bmatrix}\cos(\,\varphi)\,\\\sin(\,\varphi)\,\\1\end{bmatrix}\)
Det resultat virker så overbevisende, at man nok kunne have indset det uden beregning.
Når det så kræves, at skalarproduktet af N og B giver 0, kan man bestemme \(\varphi\) ud fra \(\theta\).
\(\varphi=\arccos(\,-\cot \theta)\,\)

Jeg beklager nattens fejltagelser. Jeg ville meget gerne høre fra dig, men vender nok tilbage med en yderligere analyse.

[JensSkakN]

N og B skulle have været N og V

[JensSkakN]

Jeg er bange for, at jeg skader mere end jeg hjælper.
Der var en fejl mere i ovenstående \(\cot\theta\) skulle have været \(\tan\theta\)
Jeg har lavet en tegning i geogebra, som har overbevist mig om følgende.
Når \(\frac{\pi}{4}<\theta<\frac{3\pi}{4}\), ser solfangeren set fra solen ud som en ellipse. Keglens spids ligger indenfor ellipsen. Arealet af denne ellipse er \({\pi}\cdot{\sin{\theta}}\).
Før og efter denne solhøjde består projektionstværsnittet af to dele. Et udsnit af en ellipse på \(\frac{\varphi}{\pi}\) af hele ellipsen. Derudover en firkant, som kan opfattes som 2 trekanter med samme grundlinje \(\cos\theta\) og med højden \(\sin\varphi\).
Før \(\theta=\frac{\pi}{4}\), er arealet \({\varphi}\cdot{sin\theta}+{\cos\theta}\cdot{\sin \varphi}\), efter dette tidspunkt indtil middag er arealet \({\pi}\cdot{\sin\theta}\)
Når \(\varphi\) udtrykkes ved \(\theta\), kan det samlede energi beregnes.
Belært af erfaringen, må jeg nok tage forbehold for yderligere fejl, men jeg tror dog, jeg er på rette spor.
Jeg foretager mig ikke yderligere, før jeg har hørt mere fra dig.

[ringstedLC]

N og B skulle have været N og V

Til orientering: Øverst til højre i dine svar, er der en "Rediger indlæg"-knap.

[JensSkakN]

Til RingstedLC Tak for dette. Hvordan er det lige jeg får et skærmbillede ind i et svar? Mvh Jens