Webmatematik - Forum

Gaspard skrev: ↑29 dec 2023, 06:22 I forhold til c):
Jeg kan ikke finde ud af at differentiere den i hånden, hvad gør jeg?

JensSkakN skrev: ↑29 dec 2023, 11:08 Radius hedder \(x\) og ikke \(r\). Så derfor er
\(O(x)=2\pi x^2+2\pi xh\). Dette kan så reduceres til \(2\pi x\cdot(x+h)\)
Det er blevet reduceret, fordi der er færre tegn, når man anvender parentesen. Parentesen betyder ikke andet end, at \(2\pi x\) skal ganges med først \(x\) og så med \(h\) og til sidst skal de to produkter adderes.
Fra a) skulle du have fået \(h=\frac{100}{\pi x^2}\)
Når du indsætter dette, får du \(O(x)=2\pi x\cdot {(x+\frac{100}{\pi x^2})}=2\pi x^2+\frac{200} x\)
Når jeg så differentierer i hånden, giver det
\(O'(x)=2\pi\cdot 2x-\frac{200}{x^2}\)
Nu mangler du at løse ligningen \(O'(x)=0\) for at bestemme den radius, der giver den mindste overflade, når der skal være 100 \(cm^3\) i dåsen. Håber, det var svar på dine spørgsmål.

ringstedLC skrev: ↑29 dec 2023, 14:42

Gaspard skrev: ↑29 dec 2023, 06:22 I forhold til c):
Jeg kan ikke finde ud af at differentiere den i hånden, hvad gør jeg?

c) Differentiering:
\(O(x)=2\,\pi\,x^2+2\,\pi\,x\,h=2\,\pi\,x^2+2\,\cancel{\pi}\,\cancel{x}\frac{100}{\cancel{\pi}\,x\,\cancel{x}}
\;,\; h=\frac{100}{\pi\,x^2} \\
O(x)=2\,\pi\,x^2+200\cdot \frac{1}{x} \\
O'(x)=2\,\pi\cdot 2x+200\cdot \Bigl(-\frac{1}{x^{2}}\Bigr)=4\,\pi\,x-200\cdot\frac{1}{x^{2}}=4\,\pi\,x-200\,x^{-2}
\)

Optimering:
\(4\,\pi\,x-200\,x^{-2}=0\qquad(\textup{grafens nulpunkt}) \\
\pi\,x-50\,x^{-2}=0 \\\pi-50\,x^{-3}=0 \\50\,x^{-3}=\pi \\x^3=\pi^{-1}\cdot 50^{1} \\
x=\pi^{-\frac{1}{3}}\cdot 50^{\frac{1}{3}}\qquad\qquad\qquad\qquad\;\;\Rightarrow x_{min}\approx 2.52\;(\textup{cm}) \\\\
h=\frac{100}{\pi\Bigl(\pi^{-\frac{1}{3}}\;50^{\frac{1}{3}}\Bigr)^{\!2}}
=\frac{100}{\sqrt[3\,]{\pi}\;\bigl(\!\sqrt[3\,]{50}\,\bigr)^{\!2}}\Rightarrow h_{min}\approx 5.03\;(\textup{cm})
\)

NB. Opret en ny tråd ved ny opgave!