Har man større chance med flere modstandere?

[overby]

I en gruppe med 4 spillere møder alle hinanden en gang. Der tildeles 2 point for sejr og 0 point for nederlag. Uafgjort er ikke en mulighed. Der går to spillere videre (markeret med gult i skema).
Dvs. der er tre kombinationer af point: 6-4-2-0, 4-4-4-0 og 6-2-2-2.
6-4-2-0 kan forekomme på 24 forskellige måder med to spillere videre. (3)
4-4-4-0 kan forekomme på 4 forskellige måder, men der er 3 muligheder, hvor 2 spillere går videre. (1)
6-2-2-2 kan forekomme på 4 forskellige måder, men der er 3 muligheder, hvor 2 spillere går videre. (1)

Sandsynligheden for at spiller A går videre fra gruppen er 48/96 x 100= 50 %
Sandsynligheden for at spiller A går videre fra gruppen med en tabt kamp er 30/78 x 100=38,5 %

Hvis der fjernes en spiller fra gruppen, og der stadig går to videre, er der to kombinationer af point: 4-2-0 og 2-2-2.
4-2-0 kan forekomme på 6 forskellige måder med to videre. (3)
2-2-2 kan kun gøres på en måde, men der er 3 muligheder, hvor 2 spillere går videre. (1)
Sandsynligheden for at spiller A går videre fra gruppen er 14/21 x 100= 66,7 %
Sandsynligheden for at spiller A går videre fra gruppen med en tabt kamp er 8/15 x 100=53,3 %

Ovenstående tager udgangspunkt i fire lige stærke spillere. Hvordan udregner man sandsynligheden for A’s mulighed for at gå videre fra puljen, hvis han er den stærkeste? Hvis fx man har rangeret 16 spillere, og A er nummer 1, B er nummer 8, C er nummer 9 og D er nummer 16, ville A så have bedre chancer i gruppen med fire spillere?

[JensSkakN]

Det kan ikke besvares, fordi problemstillingen ikke er veldefineret.
Hvis en eliteskakspiller spiller mod 3 begyndere eller en eliteløber spiller mod 3, der aldrig har dyrket atletik, er det helt sikkert, at elitepersonen vinder.
Du er nødt til at definere forholdet mellem deres styrker mere præcist, fx, at hvis A spiller mod B i mange spil, så vil A vinde de 80% af spillene.

[overby]

Jeg har ikke en stor mængde data at gå ud fra, men hvis vi nu anslår, at nr. 1 har et styrketal på 100, nr. 2 har 95............og nr. 16 har 25, så vil procenterne se nogenlunde sådan her ud: 1 vs 16 80/20, 8 vs 9 52/48, 1 vs 9 63/37, 8 vs 16 72/28, 1 vs 8 60/40, 9 vs 16 70/30.

[JensSkakN]

Ok. Sandsynlighedsregning er svært og fuld af faldgruber.
Jeg vil gerne prøve at hjælpe dig, men det kræver nok en vis tålmodighed fra både din og min side.
Jeg er nødt til at forstå, præcis hvad du mener, og derfor må du svare på nogle spørgsmål.
Jeg er dog næsten sikker på, at svaret på dit hovedspørgsmål er: Nej, A har bedst chance, hvis der kun er 3 spillere.
-det står mig ikke klart, hvordan man afgør, hvem der går videre, hvis de har lige mange point, men det er formentlig ikke afgørende. Man kunne jo forestille sig, at det afgøres ved lodtrækning.
- ...point: 6-4-2-0, 4-4-4-0 og 6-2-2-2. Dette forstår jeg.
- 6-4-2-0 kan forekomme på 24 forskellige måder med to spillere videre. Forstået, men jeg ved ikke, hvad du mener med (3) i parentes.
- 4-4-4-0 kan forekomme på 4 forskellige måder, men der er 3 muligheder, hvor 2 spillere går videre. (1) De 4 måder ok, men jeg forstår vist ikke hvad du mener med de 3 muligheder. Og igen forstår jeg ikke 1 i parentes.

Jeg ville umiddelbart selv tænke på at der er 6 kampe og dermed 64 forskellige udfald, der beskriver de 6 kampe. En af disse 64 udfald kunne være: A vinder over B, A taber til C, A vinder over D, B taber til C, B vinder over D, C vinder over D.
Det er indlysende at enhver spiller har 50% chance for at gå videre, men jeg er ikke med på de 48 ud af 96.
Så taler du om sandsynligheden for at A går videre med en tabt kamp. Det er ikke klart, hvad du mener. Det kan være
-Sandsynligheden for at A går videre og at A taber netop 1 kamp.
-Sandsynligheden for at A går videre og at A taber mindst 1 kamp.
-Hvis vi ved, at A har tabt mindst 1 kamp, hvad er så sandsynligheden for at A går videre?
Med de tre spillere, er det indlysende, at hver spiller har 2/3 chance for at gå videre.
Men jeg kan ikke få de 53,3%. Fx er sandsynligheden for at A går videre og netop taber 1 kamp 41,7%.
I dit næste indlæg omtaler du et styrketal. Et sådant er ikke på forhånd givet, men må defineres. Dette gøre på forskellig og ret kompliceret vis i skak, bridge og golf, mens der mig bekendt ikke findes noget sådant i orienteringsløb eller håndbold. Derfor aner jeg heller ikke hvodan du når frem til de angivne frekvenser, men jeg kan godt udføre en beregning af sandsynligheden for at gå videre ud fra disse frekvenser alene, hvis du bare får forklaret mig hvad du mener.
Det er helt ok, hvis du giver op, fordi du skønner, at det er umuligt at forklare mig, hvad du mener.
En anden mulighed er at du beder mig beregne sandynligheden for at gå videre, hvis jeg går ud fra de angivne indbyrdes vinderchancer og at der trækkes lod ved pointlighed - som jeg nu mener det skal gøres. Både med 4 spillere og med 3 spillere.

[overby]

Først og fremmest tak for at du vil bruge tid på at hjælpe mig 😊.

Hvis to eller tre spillere er lige i point afgøres placering ud fra: 1. Flest vundne sæt, 2. Højeste score, 3. Lodtrækning. Så ja, lodtrækning er fint, da jeg formoder, de 2 andre muligheder også vil fordele sig ligeligt.


Tallene i parentes (3) og (1) er de tal, der står, kursiveret og fremhævet, under hver enkelt kombination på den vedhæftede pdf-fil. Det var egentlig for at gøre sammentælling lidt nemmere for mig selv. Med 4-4-4-0 er der tre kombinationer af spillere, der går videre. Eksempel:
A 4
B 4
C 4
D 0
A og B, A og C eller B og C kan gå videre. De tre kombinationer har fået værdien (1), da de hver udgør en tredjedel af udfaldet 4-4-4-0.
Så (3) er egentlig lig med 1 og (1) er lig med \(\frac{1}{3}\).

48 ud af 96 er lig med 16 ud 32. Jeg har brugt (3) og (1) fra pdf-fil til sammentælling, men jeg har ikke fået divideret med 3.


Jeg mener, hvad er chancen for at gå videre med mindst 1 tabt kamp. Fx i 3-mandspuljen er der følgende 7 udfald for A, B og C: 4-2-0, 4-0-2, 2-4-0, 2-0-4, 0-4-2, 0-2-4, 2-2-2.
Hvis A taber en kamp udelukkes de to første udfald 4-2-0 og 4-0-2.
2-4-0 og 2-0-4 sender A videre.
0-4-2 og 0-2-4 sender ikke A videre.
2-2-2 sender A videre 2/3 af tilfældene
Altså med et nederlag kan A gå videre i 2\(\frac{2}{3}\) ud af 5 tilfælde = 53,3%

Tilsvarende i 4-mandspuljen kan A gå videre med et nederlag i 10 ud 26 tilfælde = 38,5%


Styrketal er anslåede værdier, jeg har givet nummer 1-16. Jeg har som sagt ikke ret meget at basere det på, men forholdet mellem fx 1 og 16 er omkring 100 : 25 eller 80% / 20%.
4-mandsgruppen : A vs D 80/20, B vs C 52/48, A vs C 63/37, B vs D 72/28, A vs B60/40, C vs D 70/30.
3-mandsgruppen: A vs C 63/37, A vs B60/40, B vs C 52/48


”En anden mulighed er at du beder mig beregne sandsynligheden for at gå videre, hvis jeg går ud fra de angivne indbyrdes vinderchancer og at der trækkes lod ved pointlighed - som jeg nu mener det skal gøres. Både med 4 spillere og med 3 spillere.”
Ja tak, det må du meget gerne.

[JensSkakN]

Fint med din grundige forklaring.
Jeg vil gennemføre beregningen, men først vil jeg forklare dig, hvor du tager fejl. Jeg ser på det tilfælde, jeg har tænkt mest over:
Jeg mener, hvad er chancen for at gå videre med mindst 1 tabt kamp. Fx i 3-mandspuljen er der følgende 7 udfald for A, B og C: 4-2-0, 4-0-2, 2-4-0, 2-0-4, 0-4-2, 0-2-4, 2-2-2.
Hvis A taber en kamp udelukkes de to første udfald 4-2-0 og 4-0-2.
2-4-0 og 2-0-4 sender A videre.
0-4-2 og 0-2-4 sender ikke A videre.
2-2-2 sender A videre 2/3 af tilfældene
Altså med et nederlag kan A gå videre i 2 (du mener vist 2.67)
ud af 5 tilfælde = 53,3%
For det første mener du: Hvis vi forudsætter, at han taber mindst én kamp, hvad er så sandsynligheden for at gå videre. Det er derfor, at du til sidst skriver, at der er 5 tilfælde i alt. Det er noget andet end at overveje, inden turneringen: Hvad er sandsynligheden for at gå videre og at tabe mindst en kamp'? (2 vundne kampe vilde i den optik være et 'negativt' resultat)
Det, du mener, er det matematikere kalder en betinget sandsynlighed.
Men udover den lidt uklare formulering begår du en fejl i analysen. Du havner i en af faldgruberne.
Der er ikke 7 udfald, som du skriver, men 8, og disse 8 er præcis lige sandsynlige, hvis spillerne er lige stærke. De 6 første er gode nok og svarer hver især til et bestemt resultat i hver af de 3 kampe. Men 2-2-2 svarer til 2 forskellige scenarier:
-A vinder over B, B over C og C over A
-A vinder over C, C over B og B over A (jeg kunne også have skrevet A taber til B, B til C og C til A).
Den korrekte betingede sandsynlighed er 55.6%
Nu er jeg sikker på, jeg har forstået hvad du mener. Jeg gennemfører beregningen med dine præmisser og formidler resultatet, når jeg har det, sammen med nogle eksempler på, hvordan beregningen er foretaget.

[JensSkakN]

Du får nu mine første beregninger.
Du (og jeg) havde glemt muligheden for 4-4-2-2.
Der er desuden den forskel på 6-2-2-2 og 4-4-4-0, at I første tilfælde har hver af de 3 spillere sandsynligheden 1/3 for at gå videre, mens I det andet tilfælde er sandsynligheden 2/3.
Ud af de 64 mulige scenarier, går en spiller direkte videre i 26 af dem. I 6 tilfælde er sandsynligheden 2/3 og i 6 tilfælde er sandsynligheden 1/3.
Resultatet bliver, at sandsynlighederne for at gå videre med 4 spillere er
sp. 1 73.24%
sp.8 56.07%
sp. 9 51.63%
sp. 16 19.07%
Der er foretaget så mange kontroller, at jeg tror det er korrekt.
Jeg valgte at opskrive muligheder for de 6 udfald, se hvem der gik videre, og tælle op. Mulighederne for faldgruber er så store, at jeg skønnede, at det ikke kunne betale sig at prøve mere elegante metoder. Et lille udsnit af beregningerne er vedlagt.
Jeg følger op i morgen på beregninger med 3 spillere.

[JensSkakN]

Her følger beregningerne med 3 spillere. Jeg har dels regnet på, at sp. nr. 8 ikke er med og at sp. nr 16 ikke er med.
Det ses, at sandsynligheden for at gå videre altid øges, når man fjerner en spiller.

[overby]

Så uanset hvad, er der bedre chancer for den gode spiller for at gå videre fra en 3-mandspulje, end der er fra en 4-mandspulje. 66,7% mod 50%, hvis spillerne er lige stærke, og 77,28% mod 73,24%, hvis der er stor forskel på top og bund. Det var din klare formodning fra start af, og du har bekræftet og bevist, hvad jeg har mistænkt i lang tid. Tusind tak for det.

Med hensyn til den betingede sandsynlighed, altså chancen for at gå videre selvom man taber en kamp, så må den vel blive lidt større end 38,5% i 4-mandspuljen, når 4-4-2-2 kommer med i beregningen?

[JensSkakN]

Hvis de er lige stærke, bliver den betingede sandsynlighed \(\frac 3 7=42.9\%\)