sandsynlighed

[lianergoist]

Hvordan "måler" jeg hvor "retfærdig" en terning er?

Hvis jeg kaster en terning, så er sandsynligheden for at få en sekser 1/6. Men alle der har prøvet at slå med en terning ved, at man godt kan slå 6 gange uden at få en sekser. Men hvor mange gange skal man slå med en terning, for at kunne sige, at der er noget galt med terningen, hvis man ikke får en sekser?

(i virkeligheden er det forskellige pseudorandom number generators jeg vil teste, men princippet er det samme)

Håber nogen kan hjælpe mig.

Thomas

[JensSkakN]

Der findes ikke en entydig regel.
Man skal vælge et signifikansniveau. Dette kan være 5%, hvad det er som standard i en gymnasieopgave. Det kan være 2%. Ved påvisningen af Higgs-partklen i CERN (et af de helt store forsøg, hvor man ville bevise eksistensen af den sidste manglende partikel i fysikkens standard-model) havde man besluttet sig for 5 standardafvigelser, hvilket svarer til et signifikansniveau på 0,0000287 %.
Hvad betyder så dette? Det betyder, at du først antager, at din terning har præcis sandsynligheden \(\frac 1 6\) for at slå en sekser eller et bestemt andet tal. Når du så har lavet et stort antal forsøg, \(N\), er det meget sandsynligt, at der er flere eller færre seksere end \(\frac N 6\). Så bliver du mistænksom og beregner derfor sandsynligheden for at få fx. 100874 seksere eller flere ud af 600000 kast. Når jeg skriver 'eller flere', så er det fordi, at du har en mistanke om, at sandsynligheden er større end \(\frac 1 6\). Hvis nu sandsynligheden for dette er mindre end det valgte signifikansniveau, så betragter du herefter terningen som falsk. Men bemærk, at du kan aldrig være helt sikker. Selv hvis terningen viser 6 hver gang, så kunne det jo være en ægte terning, der bare tilfældigvis faldt ud med en sekser i de forsøg, du indtil nu har lavet.

Jeg vil foreslå, at du vælger et signifikansniveau på 1%. Hvis du laver \(N\) forsøg og sandsynligheden for at få en sekser er \(p\) i et enkelt kast, er sandsynligheden for at få netop \(n\) seksere \({{p^n}\cdot {(1-p)^{N-n}}\cdot{\frac {N!}{{n!}\cdot{(N-n)!}}}}\), men når du skal finde sandsynligheden for at få (\(n\) eller flere) bliver det uoverkommeligt at beregne med en almindelig lommeregner. Det kan gøres med et matematikprogram som Maple. Der er tale om en binomialfordeling, som kan approximeres til en normalfordeling, men jeg ved ikke, om det siger dig noget.

[lianergoist]

Der findes ikke en entydig regel.
...
Jeg vil foreslå, at du vælger et signifikansniveau på 1%. Hvis du laver \(N\) forsøg og sandsynligheden for at få en sekser er \(p\) i et enkelt kast, er sandsynligheden for at få netop \(n\) seksere \({{p^n}\cdot {(1-p)^{N-n}}\cdot{\frac {N!}{{n!}\cdot{(N-n)!}}}}\), men når du skal finde sandsynligheden for at få (\(n\) eller flere) bliver det uoverkommeligt at beregne med en almindelig lommeregner. Det kan gøres med et matematikprogram som Maple. Der er tale om en binomialfordeling, som kan approximeres til en normalfordeling, men jeg ved ikke, om det siger dig noget.

Tak for svar. Jeg forstår præcis så meget, at jeg kan udregne dit regnestykke, men jeg forstår på ingen måde hvad der foregår, og heller ikke hvad normalfordeling og binomialfordeling er. Mit problem er, at jeg ikke helt forstår hvorfor der ikke er en regel. Hvis der er en sandsynlighed for et bestemt udfald, hvorfor afspejler virkeligheden det så ikke? Nej, du behøver ikke forsøge at svare. Jeg skal nok bare tænke lidt mere over det... :-)

[ringstedLC]

Der er ikke én regel, men vi opsætter forskellige regler afhængigt af, hvad der måles på.
Som nævnt bruges et 5% signifikansniveau i gymnasieopgaver.

Og virkeligheden afspejler for det meste den beregnede sandsynlighed,
-det er bla. derfor, at Danske Spil og casinoer verden over tjener masser af penge.

Men man kan altså ikke forvente at se terningens fulde udfaldsrum (1-6) ved kun seks- eller tolv kast.
Der skal ofte kastes adskillige flere gange. Selv hvis terningen har en stor tendens til f. eks. at vise "6",
kan det være tilfældigt. Det er dét, der er hele ideen med sandsynlighedsregning.

Husk: Hvert kast er et nyt kast, - terningen "husker" ikke!

[JensSkakN]

Jeg skriver det samme som RingstedLC på en lidt anden måde
Du skriver
Hvis der er en sandsynlighed for et bestemt udfald, hvorfor afspejler virkeligheden det så ikke?

Virkeligheden afspejler også dette, men kun hvis du laver uendelig mange forsøg. Og det tager rigtig lang tid.
Det er indlysende, som du selv skriver at man ikke kan forvente at få præcis én sekser i 6 kast. Tilsvarende gælder det med flere, men endelig mange kast.
Hvis du giver mig nogle resultater i form af antal elementarforsøg (antal kast), den forventede sandsynlighed for et bestemt resultat i hvert elementarforsøg (typisk 1/6 eller 1/10) og antal opnåede af disse bestemte resultater, så skal jeg nok lave beregningen for dig. Du kan sende dem til jensskaknielsen@gmail.com

[lianergoist]

Som nævnt bruges et 5% signifikansniveau i gymnasieopgaver.

Ja, jeg skal nok lige læse lidt op på signifikans...

Men man kan altså ikke forvente at se terningens fulde udfaldsrum (1-6) ved kun seks- eller tolv kast.
Der skal ofte kastes adskillige flere gange.

Og det er derfor jeg stiller spørgsmål her.

Jeg har lavet et program der sammenligner fordelingen af udfald i forskellige 'pesudorandom number generators' i C.

Jeg tog udgangspunkt i at 1,2,3,4,5,6 med seks terninger har en sandsynlighed på 1/6⁶, og derfor lod jeg programmet foretage 6⁶ kast og beregnede afvigelsen fra sandsynligheden, og sammenlignede så de forskellige random-funktioner. Men det gik op for mig, at det vel svarer til at kaste 6 gange med en terning, og forvente 6 forskellige resultater...?

Måske giver det mere mening at lave en graf der viser en kurve over hvor stor afvigelsen fra sandsynligheden er, når man kaster flere og flere gange?

Og måske giver det slet ikke mening at måle hvor retfærdig en random-funktion er? For hvis den er 100% retfærdig, så er den ikke tilfældig?

Måske bør man kunne sammenligne hvor vanskeligt det er at forudsige næste udfald - hvilket også er det de fleste interesserer sig for...

Jeg takker for jeres svar. Jeg er blevet lidt klogere. :-)

[lianergoist]

Virkeligheden afspejler også dette, men kun hvis du laver uendelig mange forsøg.

Ja, jeg tror jeg begynder at forstå. Se også mit svar til RingstedLC.

Tak til jer begge for at gide forsøge at hjælpe mig.

[ringstedLC]

Men det gik op for mig, at det vel svarer til at kaste 6 gange med en terning, og forvente 6 forskellige resultater...?

Ja, eller 6 ens resultater.

NB. det er ligegyldigt om der kastes seks terninger én gang eller én terning seks gange.
\(\)

Og måske giver det slet ikke mening at måle hvor retfærdig en random-funktion er? For hvis den er 100% retfærdig, så er den ikke tilfældig?

Her synes jeg, at du bytter om på tingene. Hvis random-funktionen er retfærdig/tilstrækkelig kan den afgøre om terningen er ærlig.
\(\)

... hvor vanskeligt det er at forudsige næste udfald - hvilket også er det de fleste interesserer sig for...

Dét kan forudsiges, - med en 1/6 sandsynlighed og en ærlig terning. Og selv tak!