Differentialregning

[JensSkakN]

Ja, der er noget galt. Det sker jævnligt, at der er fejl i matematikbøger. Ja, jeg har undervist på MG (Marselisborg G)

[Gaspard]

Ja, der er noget galt. Det sker jævnligt, at der er fejl i matematikbøger. Ja, jeg har undervist på MG (Marselisborg G)

Det gør selvstudiet udfordrende.
Jeg var årsvikar på MG 22/23 i da/ty.

[Gaspard]

Jeg bøvler lidt med fremgangsmåden i denne opgave (fra Kernestof 2, opg. 938):

En cylinderformet konservesdåse skal have rumfanget 100 cm3 (1 dl). Højden kaldes h, overfladen for O(x) og radius i grundfladen for x.

a) Bestem h som funktion af x.

b) Bestem en formel for O(x)

c. Find den x-værdi og h-værdi hvor materialeforbruget er mindst muligt.


Det er særligt pkt. b og c. jeg ikke lige kan greje.

[ringstedLC]

b)
Dåsens overflade består af et krumt rektangel og to cirkelflader.
Opstil forskriften for O og indsæt udtrykket for h.

c) Bestem minimum for O og beregn h

[Gaspard]

Jeg er egentlig ikke sikker på, at jeg forstår opgaven. Skal formlen O(x) ikke bare udtrykke overfladearealet på dåsen? Og den er vel bare arealet af dåsens top og bund lagt til arealet af den krumme flade?

Kan nogen give en forklaring på facit, som er: \(O(x)=2π*x(h+x)\)?

[ringstedLC]

Du har forstået b). Den krumme flade er 2 pi x gange udtrykket for h
som du fandt i a).
Opstil så O(x) (altså uden h)

c) Differentiér og bestem den x-værdi, der giver minimum.
Indsæt så den i udtrykket for h og bestem h_min

[JensSkakN]

Måske kan du ikke gennemskue svaret på første halvdel af b)
Den krumme overflade har areal \(2\pi x\cdot h\), idet det kan foldes ud til et rektangel med sider \(2\pi x\) og \(h\).
Bunden har areal \(\pi\cdot {x^2}\). Toppen det samme. Når disse 3 adderes, giver det netop den angivne formel.

[Gaspard]

Hvorfor hedder formlen så ikke \(O(x)=2πr^2+2πrh\), men \(O(x)=2*π*x*(h+x)\)? - og hvad betyder parentesen?

I forhold til c):
Jeg kan ikke finde ud af at differentiere den i hånden, hvad gør jeg?
Differentieret i GeoGebra finder jeg så toppunktskoordinatet, ik'? - og skal indsætte det...hvor?
Og skal jeg bruge den lineære funktion til noget som helst?



Der er en betydelig forskel i sværhedsgrad mellem at regne med differentialregning og rent faktisk bruge den i noget matematik. Eller også er det særligt de opgaver, hvor geometri spiller en rolle, der er svære...

[JensSkakN]

Radius hedder \(x\) og ikke \(r\). Så derfor er
\(O(x)=2\pi x^2+2\pi xh\). Dette kan så reduceres til \(2\pi x\cdot(x+h)\)
Det er blevet reduceret, fordi der er færre tegn, når man anvender parentesen. Parentesen betyder ikke andet end, at \(2\pi x\) skal ganges med først \(x\) og så med \(h\) og til sidst skal de to produkter adderes.
Fra a) skulle du have fået \(h=\frac{100}{\pi x^2}\)
Når du indsætter dette, får du \(O(x)=2\pi x\cdot {(x+\frac{100}{\pi x^2})}=2\pi x^2+\frac{200} x\)
Når jeg så differentierer i hånden, giver det
\(O'(x)=2\pi\cdot 2x-\frac{200}{x^2}\)
Nu mangler du at løse ligningen \(O'(x)=0\) for at bestemme den radius, der giver den mindste overflade, når der skal være 100 \(cm^3\) i dåsen. Håber, det var svar på dine spørgsmål.

[ringstedLC]

Der er en betydelig forskel i sværhedsgrad mellem at regne med differentialregning og rent faktisk bruge den i noget matematik. Eller også er det særligt de opgaver, hvor geometri spiller en rolle, der er svære...

Forskellen er bare, at du lærer dif.-regning med "a", "b" m.m.
I virkeligheden eksisterer disse konstanter sjældent, men hedder fx "\(\pi\)", "r", "h".