Beregn vækstraten

[Gaspard]

Fra Kernestof 1, opg. 724:

I 1970-2010 er flytrafikken blevet fordoblet hvert 15. år.
a. Hvilken vækstrate pr. år svarer det til?


Hvad gør jeg?
Måske noget med 40 år, sikker noget med de 15 år og med fordoblingskonstanten.

[JensSkakN]

Hvis vækstraten er \(r\), betyder det at du finder flytrafikken et bestemt år ved gange flytrafikken året før med \((1+r)\).
Når du gør det 15 gange, har du fået en fordobling, dvs. at der skal ganges med 2.
Løs ligningen \((1+r)^{15}=2\) og find \(r\).

[ringstedLC]

Se eventuelt formlerne (81) og (87) i STX C.

[Gaspard]

Hvis vækstraten er \(r\), betyder det at du finder flytrafikken et bestemt år ved gange flytrafikken året før med \((1+r)\).
Når du gør det 15 gange, har du fået en fordobling, dvs. at der skal ganges med 2.
Løs ligningen \((1+r)^{15}=2\) og find \(r\).

Tak. Vækstraten er 4,73%
Nøgleordet er fordobling, og den sker efter 15 år, derfor skal jeg skrive "=2" efter min fremskrivningsfaktor?

[JensSkakN]

Ja, din vækstrate er korrekt. De 40 år har ingen betydning for dette spørgsmål.
Du skal skrive = 2, efter at have ganget med 1.0473 femten gange.

[Gaspard]

Alright. Tak for jeres hjælp.


Nogle stykker af opgaveformuleringerne omkring eksponentielle funktioner er svære at afkode, eksempelvis også opg. 735 (stadig Kernestof 1):

Danmarks BNP i 2016 var 306 mill.$, og de seneste år har væksten været på omkring 2% p.a.
a. Opstil en formel, der beskriver sammenhængen mellem BNP og antal år efter 2008 for Danmark.


Formuleringen "sammenhængen mellem" er uklar. Jeg har forsøgt med at finde differensen i årene, altså fra 2008-16, og lægge den til som b-værdi.

[JensSkakN]

Hvis x er antal år efter 2008 og f(x) er BNP i mill. $, så er sammenhængen den funktion der knytter x til f(x)
\(f(x)=306\cdot{1.02^x}\)
Nu kan du beregne BNP fx. i 2023. Her er \(x=15\)
Jeg synes ikke spørgsmålet er uklart.

[Gaspard]

Hvis x er antal år efter 2008 og f(x) er BNP i mill. $, så er sammenhængen den funktion der knytter x til f(x)
\(f(x)=306\cdot{1.02^x}\)
Nu kan du beregne BNP fx. i 2023. Her er \(x=15\)
Jeg synes ikke spørgsmålet er uklart.

Facit siger noget andet:
Opgave 735
a) f(x) = 341 · 1,02x, hvor x er antal år efter 2008 og f(x) er Danmarks BNP i milliarder dollars.

[JensSkakN]

pinligt.
Jeg havde overset forskellen på 2016 og 2008.
Jeg mener nu, at det korrekte facit er \(f(x)=261\cdot {1.02^x}\)
Så der må også være noget galt med dit facit, med mindre jeg stadig overser noget.

[ringstedLC]

Facit må være forkert.
Ved positiv vækst er startværdien b mindre end en funktionsværdi for x større end "0":

\(\begin{array} {lll}
f(8)=306=b\cdot 1.02^{\,8}
&\Rightarrow f(x)=306\cdot 1.02^{\,-8}\cdot 1.02^{\,x} =261\cdot 1.02^{\,x} \\
&\Rightarrow f(x)=306\cdot 1.02^{\,x-8} \end{array}\)