Differentialregning

[Skipper19]

https://imgur.com/a/QYht7pD
Hjælp, min lærer kan ikke ingen gang finde ud af opgaven.

[JensSkakN]

Tangenter er rette linjer. Vi ved, at de går gennem punktet (4, -6). Det betyder, at de kan skrives på formen
\(y-(-6)=a\cdot{(x-4)}\implies y=a\cdot x-(4a+6)\)
Røringspunktet mellem en tangent og parablen har koordinatsættet \((x_r, y_r)\).
Dette punkt ligger både på tangenten og på parablen
\(y_r=x_r^2-6x_r+5=a\cdot x_r-(4a+6)\)
Samtidig ved vi, at andengradspolynomiets differentialkvotient i røringspunktet skal være den samme som tangentens hældningskoefficient.
\(2\cdot {x_r}-6=a\)
Når dette udtryk for \(a\) indsættes i ovenstående ligning, kan det reduceres til
\(x_r^2-8x_r+13=0 \implies x_r=4 \pm \sqrt 3 \)
Nu beregnes de tilsvarende \(a-\) værdier.
Den ene tangent får ligningen \(y={(2+2\sqrt 3)}\cdot x-(14+8\sqrt 3)\)

[Skipper19]

Tak det er fantastisk, kunne du muligvis uddybe dine forklaringer? Jeg er ikke helt sikker på at jeg forstår det, og der er heller ikke nogen i min klasse som forstår det.

[JensSkakN]

Ja, det kan jeg godt, men du må hjælpe mig. Det gør du ved at skrive præcis, hvad du ikke forstår. Punkt for punkt, eller også bare det første punkt du ikke forstår. Når du så har fået det forklaret, tager du det næste.
Men nu gætter jeg. Du forstår godt, at tangenter er rette linjer. Du ved, at ligninger for rette linjer kan skrives på formen \(y=a\cdot x+b\). Her er \(a\) hældningskoefficienten, og \(b\) er linjens skæring med 2.-aksen. Men hvis vi har linjens hældningskoefficient \(a\), og vi ved, at den går gennem punktet \((x_0, y_0)\), så kan man skrive ligningen på formen \(y-y_0=a\cdot {(x-x_0)}\). Det forstår du ikke.
Men hvis du tænker geometrisk, så er det klart, at hvis ligningen beskriver en linje med rette hældningskoefficient og den går gennem et bestemt kendt punkt, så må det være den rigtige ligning, som beskriver netop denne linje. Du skal derfor bare kontrollere, at når du indsætter \(x=x_0\) og \(y=y_0\), så stemmer ligningen. Det gør den, for der står 0 på begge sider.
Nu må du gerne svare, om du faktisk havde forstået dette punkt og især, hvad der er det første, du ikke forstår.

[JensSkakN]

Jeg er enig i, at opgaven er ret svær for MatB-niveau. Men det burde dog være muligt at forstå løsningen.
Men det har fået mig til at tænke på, at Jeres lærer måske har tænkt, at I skulle løse den i Geogebra. Det kan nemlig også lade sig gøre med det værktøj, der hedder 'tangenter'. Det virker dog lidt besynderligt, at du skriver, at din lærer heller ikke kan finde ud af den.

[Skipper19]

Jeg forstod den første del med y-y0=a*(x-x0). Det var mere hvordan du kom fra xr=4+-sqrt(3) til tangent ligningen.

Min lærer kunne godt find ud af det til sidst, men han kom frem til det forkerte svar flere gange og skulle prøve om. Det har ikke altid været et problem, men han er ret gammel og skal pensioners næste år, og i August var han indlagt og efter det gik det hurtigt ned ad mentalt.

[JensSkakN]

Ok
\(x_r=4+\sqrt 3 \implies a=2x_r-6=8+2\sqrt 3-6=2+2\sqrt 3\)
Derfor bliver tangentens ligning
\(y=a\cdot x-(4a+6)={(2+2\sqrt 3)}\cdot x-(4(2+2\sqrt 3)+6)={(2+2\sqrt 3)}\cdot x-(14+8\sqrt 3)\)