Velkommen til Matematikcenter online forum
Opret dig som bruger og få gratis adgang til Danmarks eneste gratis matematikhjælp for alle.
Har du allerede en bruger? Log ind her.

Integralregning af harmoniske svigning

Besvar
Ibenhenriksen
Indlæg: 3
Tilmeldt: 23 nov 2022, 10:51

Integralregning af harmoniske svigning

Indlæg af Ibenhenriksen »

Hej, jeg skal beregne følgende ligning:

∫(A ∙ sin(ω ∙ t + φ) + b)dt

Jeg har fået at vide, at man skal anvende substitutionsmetoden, hvor min indre funktion er u=ω ∙ t + φ og
1/ω*du = dt.

Mit spørgsmål er følgende:
- Hvordan bestemmer man dt til at være 1/ω?

- Er der differentialregning med i integral regning, hvorfor er der inddraget dt/dx

- Hvordan bestemmer vi den indre funktion og ydre funktion?

- Hvornår bruger man substitutionmetoden fremfor partiel integration?

På forhånden mange tak fra en meget forvirret studerende:)
JensSkakN
Indlæg: 1044
Tilmeldt: 17 mar 2020, 12:33

Re: Integralregning af harmoniske svigning

Indlæg af JensSkakN »

Hej Iben
Jeg svarer dig på det hele og gør opmærksom på, når du skriver noget lidt forkert - ikke for at genere dig, men i håbet om at gøre dig mindre forvirret.
Du skal ikke beregne en ligning, men et integral. I en ligning er der ALTID et =
Det, du har fået at vide, er korrekt.
Den indre funktion er u = ω ∙ t + φ
Hvis du finder differentialkvotienten, får du du/dt = ω, idet du opfatter u som en funktion af t.
Størrelsen du/dt er i virkeligheden ikke en brøk, men en grænseværdi for en differenskvotient (BEMÆRK forskellen s i stedet for tial). Så i virkeligheden er det forkert, at behandle den som en brøk. Men en nærmere undersøgelse viser, at det i praksis fungerer alligevel og derfor tillader vi i gymnasiesammenhæng og i det hele taget at behandle det, som om det var en brøk.
Derfor ganger vi først med dt (selvom det egentlig er noget VÅS)
du = ω ∙ dt
og til sidst dividerer vi med ω
dt = (1/ω) ∙ du
Det er derfor meget forkert, når du skriver at dt = 1/ω
Differentialregning og integralregning er hinandens omvendte matematiske metoder, så det er ikke mærkeligt, at der kommer differentialregning ind i en opgave om integralregning.
Når man skal bestemme den indre og den ydre funktion, skal man bruge sin intuition. Her er den ydre funktion
y = A ∙ sin(u) + b

I differentialregning kan en habil matematiker altid differentiere en given differentiabel funktion.
Men der findes kontinuerte funktioner, som ingen matematiker kan integrere, i hvert fald ikke skrive resultatet op på en pæn måde.
Man kan så prøve at anvende en af de to snedige metoder, partiel integration og substitutionsmetoden. Hvis man prøver den ene og den ikke fører frem til noget integrerbart, kan man prøve den anden. Men som sagt er det ikke sikkert, at nogen af dem virker.
I eksamensopgaver må man dog forvente, at én af dem virker.
Ibenhenriksen
Indlæg: 3
Tilmeldt: 23 nov 2022, 10:51

Re: Integralregning af harmoniske svigning

Indlæg af Ibenhenriksen »

Hej Jens,

Undskyld meget det sene svar og rigtig mange gange tak for hjælpen!! Det besvarede mange af mine forvirringer, men jeg er blevet efterladt med 2 nye spørgsmål. Håber det er ok.

Du skriver "Hvis du finder differentialkvotienten, får du du/dt = ω", men hvordan finder man differential kovienten og hvordan kan man konkludere om noget er integrerbart?

Igen tusind tak for hjælpen.
Mvh
Iben.
JensSkakN
Indlæg: 1044
Tilmeldt: 17 mar 2020, 12:33

Re: Integralregning af harmoniske svigning

Indlæg af JensSkakN »

Hvis du har en funktion
\(f(x)=\omega \cdot x+\varphi\), så er det en lineær funktion. Denne kan differentieres, og
\(f'(x)=\omega\)
Dette må du have lært for 1 år siden. Jeg tror, at du forstår det, ellers må jeg forklare det nærmere.
Her bruger vi \(t\) i stedet for \(x\) og kalder funktionen \(u\). Jeg tror, at det er det, der forvirrer dig.

Det andet spørgsmål er langt over gymnasieniveau. Jeg tror faktisk, at der ikke findes en generel metode til at afgøre om en given funktion er integrerbar, Et eksempel på en, der ikke kan integreres, er \(f(x)=e^{(x^2)}\). Jeg ejer en bog på 120 sider med en systematisk liste over alle funktioner, der kan integreres og hvad resultatet bliver. Hvis jeg ikke kan finde funktionen i den bog, regner jeg med, at den ikke kan integreres.
Ibenhenriksen
Indlæg: 3
Tilmeldt: 23 nov 2022, 10:51

Re: Integralregning af harmoniske svigning

Indlæg af Ibenhenriksen »

Tusind tak. Det var en kæmpe hjælp:)
Besvar