Differentiation af brøker og sammensatte funktioner

[MikeCharlie]

Hejsa. Jeg er ved at tygge af mine fingre over denne her. Jeg skal differentiere

\(f(x)=\frac5{x+1}\)

Vha. kvotientreglen (\(IV\)) ser jeg at

\(f'(x)=\frac{{g'(x)}\cdot{h(x)}-g(x)\cdot{h'(x)}}{(h(x))^2}\)

som giver \(f'(x)=\frac{0\cdot(x+1)-5\cdot(1+0)}{(x+1)^2}\)\(=\frac{-5}{(x+1)^2}\) ( hvilket jeg først skrev som \(=\frac{-5x}{(x+1)^2}\) fordi jeg havde glemt at \((x)'=1\) )

Dog hvis jeg manipulerer det oprindelige udtryk og dernæst benytter regneregel \(V\) for sammensatte funktioner fåes

\(f(x)=\frac5{x+1}=\frac{5\cdot1}{x+1}=5\cdot\frac{1}{x+1}=5\cdot(x+1)^{-1}\)

hvor

\(f'(x)=(-1)\cdot5\cdot(x+1)^{-2}\cdot1=-5\cdot(x+1)^{-2}\)

Som gerne skal kunne omskrives til \(\frac{-5}{(x+1)^2}\) men hvordan?

[JensSkakN]

De to udtryk er fuldstændig identiske og begge korrekte.
Pr. definition
\(a^{-b}=\frac 1 {a^b}\)

[MikeCharlie]

De to udtryk er fuldstændig identiske og begge korrekte.
Pr. definition
\(a^{-b}=\frac 1 {a^b}\)

Ah, selfølgelig, tak.

\(-5\cdot(x+1)^{-2}=\frac{-5}{(x+1)^2}\) \(\because{a^{-n}}=\frac{1}{a^n}\)

\(\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}∧{n=m}\to\frac{a^n}{a^n}=a^{n-n}=a^0=1\)

\(\frac{1}{a^n}=\frac{a^0}{a^n}=a^{0-n}=a^{-n}\)