differentiation af en funktion

[Kath6631]

Hej jeg har fået dette spørgsmål:

Redegørelse for differentiation af funktionen f(x)=a*x2:

Jeg vil høre om der er nogle beviser mm. jeg kan inddrage til dette spørgsmål?

[JensSkakN]

Her taler vi om hjælp under en eksamen.
Men da det ikke kan dreje sig om hjælp under en halv times forberedelse uden adgang til omverdenen (i så fald kommer hjælpen for sent), må det være ok at hjælpe dig.
Ja, der er et oplagt bevis. Du skal tage udgangspunkt i den såkaldte tretrinsregel, som definerer hvad det vil sige, at en funktion er differentiabel i et punkt, samt forklarer, hvordan man finder differentialkvotienten.
1. trin
Betragt to x-værdier, \(x_0\) samt \((x_0+h)\).
Beregn \(f(x_0)\) og \(f(x_0+h)\)
Svar \(f(x_0)=a\cdot {x_0^2}\,\,\) og \(f(x_0+h)=a\cdot{(x_0+h)^2}=a\cdot{x_0^2}+2a\cdot{{x_0}\cdot h}+a \cdot {h^2}\)
Beregn tilvæksten \(\Delta f= f(x_0+h)-f(x_0)=2a\cdot{{x_0}\cdot h}+a \cdot {h^2}\)
2. trin
Beregn differenskvotienten \(\,\,\,\) [Bemærk: dette er ikke det samme som differentialkvotienten]
\(\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac {2a\cdot{{x_0}\cdot h}+a \cdot {h^2}}{x_0+h-x_0}=2a\cdot {x_0}+a\cdot h\)
3. trin
Undersøg om differenskvotienten har en grænseværdi for \(h\rightarrow 0\,\) [Læs: for h gående mod 0.
Svar: Det har den. Deraf følger, at funktionen er differentiabel.
Grænseværdien bliver \(2a\cdot {x_0}\).
Hermed er differentialkvotienten til \(f\) fundet i punktet \(x_0\). \(f'(x)_{x=x_0}=2a\cdot {x_0}\)
Dette kan også skrives \(f'(x)=2ax\)

Slutkommentar. Jeg kan ikke vide, om du har lært beviset på netop denne form. Du bør finde det i din egen lærebog.