overbestemte ligningssystemer

[MariaC]

hej mat center

jeg har fået givet denne opgave

bemærk i opgaveteksten hvor der står s_2 skal der indsættes



jeg har ikke haft noget problem ved at løse (a men jeg kan ikke finde ud af hvad jeg skal gøre med (b. alt hvad jeg har prøvet er endt med meget mærkelige resultater. den skal helst løses uden hjælpemidler

jeg håber derfor virkelig at der er nogen der kan hjælpe mig med at blive klogere og finde ud af hvad jeg skal gøre ved sådan en problemstilling

vh maria

[JensSkakN]

Jeg har først tid til at se nærmere på det i aften, men jeg er nogenlunde sikker på, at det handler om matricer.
Du har \(AX=B\implies A^TAX=A^TB\)
Med mindre \(\det(A^TA)=0\), er systemet overbestemt - hvilket vil sige, at der ingen eksakt løsning til ligningssystemet findes.

[MariaC]

ja det er nemlig ift matrixer. ville sætte meget pris på det tak

[JensSkakN]

Jeg mener stadig, at princippet i førnævnte løsning er korrekt, men der må nok findes en smartere måde at løse det på, end jeg kan klare.
Den matrix \(A^TA\), jeg omtalte, er en 3x3 matrix, hvor hvert matrixelement er et polynomium i \(a\) af grad mellem 2 og 4.
Fx er det nederste højre element \(182+(a^2+3a+7)^2\).
Determinanten bliver en sum af polynomier af op til 10'ende grad, som imidlertid reduceres til et fjerdegradspolynomium, nemlig
\(3a^4-18a^3+3a^2+72a+48\). Denne beregning og reduktion ville jeg ikke kunne gennemføre 'i hånden' på en rimelig tid. Resultatet er derfor udledt ved hjælp af Maple.
Når man nu ved, at \(-1\) må være rod i dette polynomium, er det ret let at indse, at det kan omskrives til \(3(a+1)^2(a-4)^2\).
Nu har vi svaret. For alle andre \(a\) end \(-1\) og \(4\) bliver ligningssystemet overbestemt.

Men løsningen er ikke tilfredsstillende, da jeg ikke ville kunne gennemføre beregningen i hånden.

[MariaC]

tak, jeg kan rigtig godt følge logikken til at værdien for a kan beregnes ved rødderne i polynomiet. jeg prøver at se hvad jeg kan opnå med gauss elimination i hånden. jeg takker mange gange