Matrix - fuldstændig løsning til differential

[MariaC]

Hej matematik forum

jeg har denne problemstilling til løsning uden CAS:
Find den fuldstændige løsning til diff. ligningssystemet som har fremstillingen x'(t)=Ax(t).

Dette er givet:

Cutout.PNG (3.42 KiB) Vist 15026 gange

Jeg aner virkelig ikke hvordan man skal gribe den an..

[JensSkakN]

Jeg er også i tvivl. Jeg har nok en mening om, hvordan den skal gribes an, men jeg fortsår ikke oplysningen om hastigheden(?) \(v\). Jeg mener den er overflødig og i strid med resten. Desuden er det mærkeligt, at den ikke hedder \(v_0\).
Da en matrix \(A\) ganges på \(x(t)\), må \(x(t)\) være en vektor i 3 dimensioner.
Jeg kalder den derfor \(x(t)=\left(\begin {array}{c} x_1(t)\\x_2(t)\\x_3(t)\end {array}\right)\)
Nu opskrives de to første ligninger i systemet af differentialligninger
\(x_1'(t)=8\cdot {x_1(t)}+5\cdot{x_2(t)}\) samt
\(x_2'(t)=-10\cdot {x_1(t)}-7\cdot{x_2(t)}\)
Her indser vi, at det er smart at addere disse to ligninger.
\(x_1'(t)+x_2'(t)=-2\cdot {x_1(t)}-2\cdot{x_2(t)}\)
Hvis nu vi døber \(x_1(t)+x_2(t)=u(t)\) får vi en kendt differentialligning, nemlig
\(u'(t)=-2u(t)\implies u(t)=C\cdot{e^{-2t}}\)
Da \(u(0)=8-17=-9\,\,\) er \(u(t)=-9\cdot{e^{-2t}}\)
Herefter vendes tilbage til den første differentialligning
\(x_1'(t)=3\cdot {x_1(t)}+5\cdot{(x_1(t)+x_2(t))}=3\cdot {x_1(t)}-45\cdot{e^{-2t}}\)
Dette er en inhomogen differentialligning. Løsningen er summen af en løsning til den homogene differentialligning samt løsningen til den inhomogene.
Løsningen bliver \(x_1(t)=9e^{-2t}-e^{3t}\)
Helt tilsvarende finder man løsningen til \(x_2\,\) :
\(x_2(t)=-18e^{-2t}+e^{3t}\)
Nu kan man se på differentialligningen for \(x_3\) og løse denne.

[MariaC]

mange tak for det hurtige svar

Beklager ikke jeg fik skrevet det med. v betegner en vektor men det er muligt ikke alle oplysnigner skal bruges i denne opgave.

jeg har nogle spørgsmål hvis det er i orden:
1. Hvorfor opskrives kun x_1'(t) og x_2'(t), og ikke x_3'(t) i starten? For det vil vel mangle i de senere udregninger fx når vi skriver om til u(t)?
2. Hvorfor er det smart at addere diff ligningerne x_1'(t) og x_2'(t)?
3. Når der vendes tilbage til den første diff ligning hvor kommer 3x_1(t) +5(x_1(t)+x_2(t)) fra?
4. Hvordan ses det at det er homogen eller inhomogen diff lign når det er vedr. matrixer? Jeg er med på det med almindelige differentialligninger men ikke i denne kontekst med matrixer

Og et lidt relateret spm blot for læringen. I dette eksempel har vi en x_0 værdi. Hvad hvis man ikke havde det? Hvordan ville man så kunne beregne den fuldstændige løsning?

[JensSkakN]

1. Principielt opskrives alle 3, men da jeg fik opskrevet de to første så jeg, at disse to kunne forenkles til én DL med én variabel.
2. Det giver én DL med én variabel, nemlig \(u(t)=x_1(t)+x_2(t)\)
3. Den første DL hedder
\(x_1'(t)=8\cdot{x_1(t)}+5\cdot{x_2(t)}=3\cdot{x_1(t)}+5\cdot{(x_1(t)+x_2(t))}\)
4. I en homogen DL står der \(y'(t)+g(y)=0\). I en inhomogen DL står der en funktion af den uafhængige variabel, fx \(t\), på højre side.
Man kan kun bestemme den fuldstændige løsning til en DL, hvis man kender et passende antal begyndelsesbetingelser (randbetingelser).

[MariaC]

okay det giver faktisk god mening for mig nu - tak for hjælpen