Hej
Er der nogle af jer der kan hjælpe mig med at forklare opbygningen af A1, A2, A3 o.sv for beviset for opsparingsannuitet. Forstår ikke helt sammenhængen?
Velkommen til Matematikcenter online forum
Opret dig som bruger og få gratis adgang til Danmarks eneste gratis matematikhjælp for alle.
Har du allerede en bruger? Log ind her.
Opret dig som bruger og få gratis adgang til Danmarks eneste gratis matematikhjælp for alle.
Har du allerede en bruger? Log ind her.
Opsparingsannuitet bevis
-
Sanjee2005
- Indlæg: 4
- Tilmeldt: 06 feb 2022, 13:37
Re: Opsparingsannuitet bevis
Hej
Jeg ved ikke, hvad du mener med A1, A2 og A3.
Hvor har du det fra?
Jeg tvivler på at beviset for formlen for opsparingsannuitet indgår i pensum for Matematik C. Men jeg er ikke sikker.
Jeg kan godt gennemgå dette bevis, men næppe bedre end det bliver gjort i lærebogen.
Konklusion: hvis du skal have hjælp (af mig), må du være meget mere konkret. Citer, hvad det handler om og skriv udtrykkeligt, hvad det første er, du ikke forstår. Så vil jeg gerne prøve at forklare det. Men at bede om at få en bedre lærebog end den du har, er håbløst, specielt når jeg ikke kender dig.
Jeg ved ikke, hvad du mener med A1, A2 og A3.
Hvor har du det fra?
Jeg tvivler på at beviset for formlen for opsparingsannuitet indgår i pensum for Matematik C. Men jeg er ikke sikker.
Jeg kan godt gennemgå dette bevis, men næppe bedre end det bliver gjort i lærebogen.
Konklusion: hvis du skal have hjælp (af mig), må du være meget mere konkret. Citer, hvad det handler om og skriv udtrykkeligt, hvad det første er, du ikke forstår. Så vil jeg gerne prøve at forklare det. Men at bede om at få en bedre lærebog end den du har, er håbløst, specielt når jeg ikke kender dig.
-
Sanjee2005
- Indlæg: 4
- Tilmeldt: 06 feb 2022, 13:37
Re: Opsparingsannuitet bevis
Er det så muligt at få gennemgået beviset da jeg ikke helt forstå selve beviset?
Re: Opsparingsannuitet bevis
Men så forstår du jo nok heller ikke min gennemgang af beviset. Men OK, jeg giver det et forsøg.
Situationen er den, at man \(n\) gange indsætter \(b\) (kr.) på en konto, præcis én gang om året. Hvor mange penge har man stående lige efter den sidste indbetaling? Rentefoden er \(r\). Denne udtrykkes normalt i %, fx kunne den være 2%. Men % betyder hundrededele, så i det tilfælde ville \(r=0.02\). Det betyder igen at 3000 kr. efter 1 år bliver til \(3000\cdot 1.02=3060\). Efter \(k\) år bliver det til \(3000\cdot {1.02}^k\). Dette skulle du gerne have forstået ud fra tidligere undervisning.
Med opsparingsproblemet skal man først indse, at de første \(b\) forrentes i \(n-1\) år.
De er altså blevet til \(b\cdot{(1+r)^{n-1}}\). Det næste beløb \(b\) forrentes 1 år mindre, så det bliver til \(b\cdot{(1+r)^{n-2}}\). Det sidste beløb når slet ikke at blive forrentet. Derfor står der på kontoen
\(S=b\cdot{((1+r)^{n-1}+(1+r)^{n-2}+.....+(1+r)^1+1)}\)
Nu kommer så det geniale. Begge sider af lighedstegnet ganges så med \((1+r)\)
\({(1+r)}\cdot S=b\cdot{((1+r)^n+(1+r)^{n-1}+.....+(1+r)^2+(1+r)^1)}\)
Når den foregående ligning fratrækkes (subtraheres) den nederste, går næsten alle ledene ud.
\(r\cdot S=b\cdot{((1+r)^n-1)}\)
Nu har du opsparingsannuitetsformlen
\(S=b\cdot{\frac{((1+r)^n-1)} r}\)
Situationen er den, at man \(n\) gange indsætter \(b\) (kr.) på en konto, præcis én gang om året. Hvor mange penge har man stående lige efter den sidste indbetaling? Rentefoden er \(r\). Denne udtrykkes normalt i %, fx kunne den være 2%. Men % betyder hundrededele, så i det tilfælde ville \(r=0.02\). Det betyder igen at 3000 kr. efter 1 år bliver til \(3000\cdot 1.02=3060\). Efter \(k\) år bliver det til \(3000\cdot {1.02}^k\). Dette skulle du gerne have forstået ud fra tidligere undervisning.
Med opsparingsproblemet skal man først indse, at de første \(b\) forrentes i \(n-1\) år.
De er altså blevet til \(b\cdot{(1+r)^{n-1}}\). Det næste beløb \(b\) forrentes 1 år mindre, så det bliver til \(b\cdot{(1+r)^{n-2}}\). Det sidste beløb når slet ikke at blive forrentet. Derfor står der på kontoen
\(S=b\cdot{((1+r)^{n-1}+(1+r)^{n-2}+.....+(1+r)^1+1)}\)
Nu kommer så det geniale. Begge sider af lighedstegnet ganges så med \((1+r)\)
\({(1+r)}\cdot S=b\cdot{((1+r)^n+(1+r)^{n-1}+.....+(1+r)^2+(1+r)^1)}\)
Når den foregående ligning fratrækkes (subtraheres) den nederste, går næsten alle ledene ud.
\(r\cdot S=b\cdot{((1+r)^n-1)}\)
Nu har du opsparingsannuitetsformlen
\(S=b\cdot{\frac{((1+r)^n-1)} r}\)