For lige at give en fornemmelse af en random walk og den store spredning i det antal skridt der er til første gang at nå en given afstand.
For som eksempel at nå en afstand på 1000 så er det mindste mulige antal trin 1000 og det maximale er uendelig mange ( sandsynligheden går dog mod nul) . Det er ikke et bevis for en stor statistisk spredning men man kan måske ane at det er tilfældet.
Mht kvantemekanik så er det ikke rigtig mærkeligt eller selvmodsigende. Det tomme rum har egenskaber som skaber længde begrebet og tids begrebet. Løseligt sagt så har det tre rum dimensioner og en tids dimension som man kan flytte på og komprimere og ekspandere. Fx når en stor masse roterer så følger rummet nær ved massen med rundt.
Rummet opfører sig i visse henseender som noget som koger og bobler. Felter skaber virtuelle partikler som hele tiden kommer og går.
Men til partikler. For at give et klassisk billede af partikler som er nemt at forstå ( men ikke nødvendigvis helt korrekt) :
Rundt omkring fx en elektron opstår der virtuelle partikler i par bestående af en positiv og en negativ virtuelt partikel, dette må nødvendigvist ske i par fordi man kan ikke skabe elektriske ladninger. Parret kan ikke eksistere ret længe og forsvinder ved at en positiv virtuel partikel møder en negativ og de to forenes ( ikke lige nødvendigvis dens tidligere partner). Tæt på elektronen kan de virtuelle par leve lidt længere hvis de har en orientering som gør at de får energi fra elektronens felt. De skærmer så faktisk elektronens felt . Der sker også det at en virtuel positiv partikel kan forenes med elektronen og en virtuelle negtive partner må overtage rollen som elektron . Men det er ikke muligt at vide hvor den lige er midt i skyen af virtuelle partikler.
Så resultatet er at en elektron er en sky at virtuelle partikler med en negativ partikel for meget. Forestil dig et antal hvide og sorte kugler med en hvid for meget. Det er ikke muligt at udpege hvilken hvid kugle det er. Begrebet eksisterer ikke.
Det er ikke muligt at udpege nøjagtigt hvor elektronen befinder sig. Men der sker dog det at der i et område i rummet er en tættere sky af virtuelle partikler end i det tomme rum. Skyen holdes sammen og får dynamiske egenskaber af den overskydende ladning. Vi kan ikke vide hvor elektronen er, det er ikke muligt. Man kan dog fange en i et mindre område som i elektron baner i et atom. Det er stadig en sky. Skyen opfylder schrødingers ligning ( for ikke relativistiske hastigheder).
Hvis det er det du prøver at simulere så er det ikke en vandring som ligner molekylers sammenstød i en gas. Elektronen vandrer ikke i den forstand.
Jeg håber det gav en fornemmelse af at partikler opfører sig anderledes end billiard kugler.
Hvis du har 10 hvide kugler og 11 sorte så kan du dog heller ikke vide hvilken sort der er for meget eller hvor den er.
Jeg håber der ikke er kvante fysikere som læser dette, de kunne jo blive skadet for livet.
Håber det giver lidt inspiration.
Velkommen til Matematikcenter online forum
Opret dig som bruger og få gratis adgang til Danmarks eneste gratis matematikhjælp for alle.
Har du allerede en bruger? Log ind her.
Opret dig som bruger og få gratis adgang til Danmarks eneste gratis matematikhjælp for alle.
Har du allerede en bruger? Log ind her.
Random walk i 3 dim.
Re: Random walk i 3 dim.
.
Random walk with drift ? se
https://math.stackexchange.com/question ... andom-walk
Middelværdi eller gennemsnit? se
https://www.studieportalen.dk/Forums/Th ... id=1426629
Mht. Microsoft Visual Basic.
Så er programmerne compileret . Ikke Interpreter som i Basic
Så 1000 simuleringer på afstanden 10.000 tager 9 sek. på pc'en for random walk med drift..
Jeg søger resultater for bevægelser i det tomme rum - så derfor friktionsfrit (ikke i gas eller vand)
Og så beholder det bevægede masse-objekt sin hastighed og retning..
nummer42: " Fx når en stor masse roterer så følger rummet nær ved massen med rundt." Super; enig. Hvor har du fundet det?
Mvh.
Georg
Random walk with drift ? se
https://math.stackexchange.com/question ... andom-walk
Middelværdi eller gennemsnit? se
https://www.studieportalen.dk/Forums/Th ... id=1426629
Mht. Microsoft Visual Basic.
Så er programmerne compileret . Ikke Interpreter som i Basic
Så 1000 simuleringer på afstanden 10.000 tager 9 sek. på pc'en for random walk med drift..
Jeg søger resultater for bevægelser i det tomme rum - så derfor friktionsfrit (ikke i gas eller vand)
Og så beholder det bevægede masse-objekt sin hastighed og retning..
nummer42: " Fx når en stor masse roterer så følger rummet nær ved massen med rundt." Super; enig. Hvor har du fundet det?
Mvh.
Georg
Re: Random walk i 3 dim.
.
En anden måde at se udfordringen på--
Et tænkt eksempel med en lille raket i rummet (uden g), der affyres een gang i sekundet, i en af 6 forskellige retninger op eller ned eller til højre eller venstre eller udad eller indad - een gang pr sek.
Raketten får hver gang et puf i een tilfældig retning så den flyver med (+/-) 1 meter pr sek.
Hvis den kun fik et puf bliver den ved med at flyve med 1m/sek
Hvis den på de første 3 sek får 3 puf i samme retning flyver den med 3m/sek.
Hvis den i 4. sek får et et puf i modsat retning flyver den med 2m/sek. osv.
Så er spørgsmålet, hvor lang tid (hvor mange step) vil den være om i gennemsnit at nå x meter væk?
Mvh.
Georg
En anden måde at se udfordringen på--
Et tænkt eksempel med en lille raket i rummet (uden g), der affyres een gang i sekundet, i en af 6 forskellige retninger op eller ned eller til højre eller venstre eller udad eller indad - een gang pr sek.
Raketten får hver gang et puf i een tilfældig retning så den flyver med (+/-) 1 meter pr sek.
Hvis den kun fik et puf bliver den ved med at flyve med 1m/sek
Hvis den på de første 3 sek får 3 puf i samme retning flyver den med 3m/sek.
Hvis den i 4. sek får et et puf i modsat retning flyver den med 2m/sek. osv.
Så er spørgsmålet, hvor lang tid (hvor mange step) vil den være om i gennemsnit at nå x meter væk?
Mvh.
Georg
Re: Random walk i 3 dim.
Jeg underviste nogle ingeniører i Basic i 1972 og har glemt alt siden. Er dog klar over windows version. jeg kan prøve at time hvor lang tid det tager på en almindelig PC. ( når mit tastatur kommer)
Hvor jeg har det fra ? Jeg lærte relativitiet teori for lang lang tid siden, det er en konsekvens af Einsteins teori. Opdaget i 1963 tror jeg. Jeg slog lige up på nettet der er masser af artikler.
http://www.kvant.dk/upload/kv-2014-1/kv ... huller.pdf
Hvor jeg har det fra ? Jeg lærte relativitiet teori for lang lang tid siden, det er en konsekvens af Einsteins teori. Opdaget i 1963 tror jeg. Jeg slog lige up på nettet der er masser af artikler.
http://www.kvant.dk/upload/kv-2014-1/kv ... huller.pdf
Re: Random walk i 3 dim.
Hvis der skal regnes med drift så skal vi have mass ,kraft og acceleration ind i ligningen , altså en slags raket.
I en dim \(x_i = x_{i-1} + v_{i-1} \cdot \delta t + \frac{1}{2} a \delta t^2\)
Desudes en beslutning om vi kun kan påvirke en dimension af gangen eller alle tre samtidigt, eller lignende.
Et af miraklerne i fysik er at x,y,z er uafhængige af hinanden, men vi skal beregne \(\sqrt{ x^2+y^2+z^2}\) for at finde om vi er nået til en given afstand.
Er det sådan du tænker?
I en dim \(x_i = x_{i-1} + v_{i-1} \cdot \delta t + \frac{1}{2} a \delta t^2\)
Desudes en beslutning om vi kun kan påvirke en dimension af gangen eller alle tre samtidigt, eller lignende.
Et af miraklerne i fysik er at x,y,z er uafhængige af hinanden, men vi skal beregne \(\sqrt{ x^2+y^2+z^2}\) for at finde om vi er nået til en given afstand.
Er det sådan du tænker?
Re: Random walk i 3 dim.
.
.
Ja..
3 dim. uden drift
Let X = ((R(1) - R(2))) 'hø/ve
Let Y = ((R(3) - R(4))) 'op/ned
Let Z = ((R(5) - R(6))) 'ind/ud
Her fortages ingen akkumulation på den enkelte retning.
3 dim. med drift
Let X = X + ((R(1) - R(2))) 'h/v
Let Y = Y + ((R(3) - R(4))) 'o/n
Let Z = Z + ((R(5) - R(6))) 'i/u
Her fortages akkumulation på den enkelte retning. En af gangen. Pr. sek.
Hvert sekund affyres raketten een gang, så den får et puf, der får den til at flyve med 1m/sek.., hvis den kun fik 1 puf.
Altså med samme kraft hver gang. Og kun en gang pr. sekund.
Mvh.
Georg
.
Ja..
3 dim. uden drift
Let X = ((R(1) - R(2))) 'hø/ve
Let Y = ((R(3) - R(4))) 'op/ned
Let Z = ((R(5) - R(6))) 'ind/ud
Her fortages ingen akkumulation på den enkelte retning.
3 dim. med drift
Let X = X + ((R(1) - R(2))) 'h/v
Let Y = Y + ((R(3) - R(4))) 'o/n
Let Z = Z + ((R(5) - R(6))) 'i/u
Her fortages akkumulation på den enkelte retning. En af gangen. Pr. sek.
Hvert sekund affyres raketten een gang, så den får et puf, der får den til at flyve med 1m/sek.., hvis den kun fik 1 puf.
Altså med samme kraft hver gang. Og kun en gang pr. sekund.
Mvh.
Georg
Re: Random walk i 3 dim.
Din ligning tager ikke hensyn til at når raketten får et skub så bevæger den sig og den bliver ved med at bevæge sig selv om den ikke får flere skub.
Din ligning ville svare til at x er en hastighed og ikke en position.
Din ligning ville svare til at x er en hastighed og ikke en position.
Re: Random walk i 3 dim.
.
Ja - tilsammen får vi både placering og (indirekte )hastighed.
Der flyttes jo med samme kraft, i en tilfældig retning hvert sekund og det skulle nødig stoppe...
Altså først vælges een tilfældig retning. Og der adderes 1 til step-variablen
.
Så adderes 1 til den retning-variable, den hører til. ( 1-6 ved 3 dimensioner. ) Denne variable kan være med akkumulerede værdier, så får vi drift eller uden akkumulerede værdier, så får vi uden drift.
Når vi har opdateret/akkumuleret alle retningerne; de 5 af dem er med 0, så skal vi benytte \(\sqrt{X^2 + Y^2 +Z^2}\) for at finde den aktuelle position.
Hvis den aktuelle position overskrider vores testafstand så så indeholder step-variablen antal step og antal tid, da det var eet step pr. tid.
Da jeg benytter resultaterne til at teste beregninger med, er det jo altafgørende at simuleringerne foretages korrekt.
Så derfor; er der nogen her, der kan godkende metoden ? ?
Og jeg går ud fra at betegnelsen "ramdom walk with drift" i fysisk sammenhæng, betyder uden friktion. (som i det ydre rum)
Mvh.
Georg
Ja - tilsammen får vi både placering og (indirekte )hastighed.
Der flyttes jo med samme kraft, i en tilfældig retning hvert sekund og det skulle nødig stoppe...
Altså først vælges een tilfældig retning. Og der adderes 1 til step-variablen
.
Så adderes 1 til den retning-variable, den hører til. ( 1-6 ved 3 dimensioner. ) Denne variable kan være med akkumulerede værdier, så får vi drift eller uden akkumulerede værdier, så får vi uden drift.
Når vi har opdateret/akkumuleret alle retningerne; de 5 af dem er med 0, så skal vi benytte \(\sqrt{X^2 + Y^2 +Z^2}\) for at finde den aktuelle position.
Hvis den aktuelle position overskrider vores testafstand så så indeholder step-variablen antal step og antal tid, da det var eet step pr. tid.
Da jeg benytter resultaterne til at teste beregninger med, er det jo altafgørende at simuleringerne foretages korrekt.
Så derfor; er der nogen her, der kan godkende metoden ? ?
Og jeg går ud fra at betegnelsen "ramdom walk with drift" i fysisk sammenhæng, betyder uden friktion. (som i det ydre rum)
Mvh.
Georg
Re: Random walk i 3 dim.
Jeg bliver nødt til at komme med en kommentar, både til Georg og til number42.
Jeg begynder med en kommentar til number42’s sidste indlæg. Ligningen i programmet er numerisk korrekt og den tager hensyn til inertiens lov. X er en position, men (R(2)-R(1)) er en hastighed. Sagen er at tidsintervallet er 1 sekund, og derfor kan hastigheden også opfattes som en tilvækst i X-koordinat, når man ikke tager det så tungt med enheder.
Til Georg må jeg først og fremmest komme med en undskyldning, men også med en vis kritik.
Den 26.13.03 (26. august kl. 13.03) kommer du med en forklaring på, hvad du mener med Random Walk med drift, uden dog at skrive, at det er det, du forklarer. Da går det op for mig, hvad det er du mener og jeg får også gennemtænkt, hvordan det kan programmeres.
24.19.34 indfører du første gang RW med drift uden nærmere kommentarer. I mit svar 25.00.32 kommenterer jeg slet ikke dette, jeg har vist slet ikke opfattet denne nye pointe.
Det gør jeg til gengæld 25.14.26, hvor jeg skriver
Det første X til højre for lighedstegnet ser mærkeligt ud. Jeg tror det er forkert, men for rigtig at vurdere det skal jeg vide præcis hvor i hele programmet, det indgår. Svarer det ikke blot til at du fordobler bevægelsen?
og igen 26.01.44, hvor jeg skriver
så giver din forklaring om manglende friktion overhovedet ingen mening
samt
Dertil kommer, at jeg ikke kan få dit program, hvor du i hver løkke lægger de tidligere koordinater til den totale forskydning af partiklen, til at give nogen mening. Så jeg vil hævde, at det ser ikke rigtigt ud.
Alle disse indvendinger er forkerte, må jeg erkende efter at have forstået 26.13.03. Din forklaring med manglende friktion giver mening. UNDSKYLD
Efter min opfattelse, er denne situation, RW med drift slet ikke en Random Walk, men sådan er der åbenbart andre, der opfatter det. Jeg vil bestemt tro, at du har fået programstumperne et sted fra, du har ikke selv udledt dem. Jeg blev forvirret af, at listen R(1)-R(6) oprindelig betegner en forskydning i de 6 retninger, men derefter pludselig er en hastighed.
Du har stadig ikke svaret på, hvor du har problemet fra. Jeg tror ikke på, at du selv forsker i kvantefluktuationer og jeg tror heller ikke på, at du har fået opgaven stillet af en, der gør. Mit gæt er, at du er i gang med en (efter)uddannelse. Jeg må nok stille mig til tåls med, at det får jeg ikke noget svar på. Jeg har ikke set nogle resultater fra RW med drift. Tiderne må være betydeligt kortere end dem du anfører fra almindelig RW. Jeg ville også gerne vide, om det formodes, at kvantefluktuationer beskrives bedst med RW uden drift eller med drift? Eller er det et helt åbent spørgsmål? Du kan jo ikke med et RW-program fastlægge en entydigt bestemt funktion, som angiver tiden for at nå ud til en vis afstand – du kan kun sandsynliggøre visse hypoteser.
Endelig vender jeg tilbage til number42, specielt dit indlæg om kvantemekanik 26.10.26. Jeg synes du blander begreberne lidt sammen, ved at omtale tid og rum, som hører til relativitetsteorien. Du skriver:
Fx når en stor masse roterer så følger rummet nær ved massen med rundt. Dette må høre til den almene relativitetsteori fra 1916. Hypotesen blev først fremsat i 1963, 8 år efter Einsteins død.
Jeg er stort set enig i din forklaring af selve kvantemekanikken, men mener dog, at den virkelig er mærkelig. Den er naturligvis ikke selvmodsigende, men resultaterne strider med vores dagligdags virkelighedsopfattelse. Man kan fx læse Feynmans Lectures on Physics, bind 3 fra 1960’erne, eller studere Aspects forsøg fra starten af 1980’erne. Franskmanden Aspect var selv overbevist om, at hans forsøg ville give det modsatte resultat, men Bohrs tolkning af kvantemekanikken bestod sin prøve. Jeg kan evt. ved anden lejlighed fortælle et eventyr, som blev formuleret af den tidligere gymnasielærer Bjørn Felsager, som var virkelig godt inde i detaljerne. Eventyrets pointe er, at kvantemekanikken er mærkelig.
Til allersidst vil jeg spørge Georg. Hvad du mener du med 26.12.00: Super; enig. Hvor har du fundet det?
Er du fortrolig med den almene relativitetsteori? Hvordan er du blevet det?
Da jeg skrev dette indlæg, havde jeg ikke set Georgs sidste indlæg. Jeg har 2 yderligere kommentarer
\(\sqrt{X^2+Y^2+Z^2}\) er ikke en position, men en afstand. Brugen af ordet position er forkert.
Og Ja, jeg kan godkende din metode/program. Det foretager en korrekt RW-beregning.
Jeg begynder med en kommentar til number42’s sidste indlæg. Ligningen i programmet er numerisk korrekt og den tager hensyn til inertiens lov. X er en position, men (R(2)-R(1)) er en hastighed. Sagen er at tidsintervallet er 1 sekund, og derfor kan hastigheden også opfattes som en tilvækst i X-koordinat, når man ikke tager det så tungt med enheder.
Til Georg må jeg først og fremmest komme med en undskyldning, men også med en vis kritik.
Den 26.13.03 (26. august kl. 13.03) kommer du med en forklaring på, hvad du mener med Random Walk med drift, uden dog at skrive, at det er det, du forklarer. Da går det op for mig, hvad det er du mener og jeg får også gennemtænkt, hvordan det kan programmeres.
24.19.34 indfører du første gang RW med drift uden nærmere kommentarer. I mit svar 25.00.32 kommenterer jeg slet ikke dette, jeg har vist slet ikke opfattet denne nye pointe.
Det gør jeg til gengæld 25.14.26, hvor jeg skriver
Det første X til højre for lighedstegnet ser mærkeligt ud. Jeg tror det er forkert, men for rigtig at vurdere det skal jeg vide præcis hvor i hele programmet, det indgår. Svarer det ikke blot til at du fordobler bevægelsen?
og igen 26.01.44, hvor jeg skriver
så giver din forklaring om manglende friktion overhovedet ingen mening
samt
Dertil kommer, at jeg ikke kan få dit program, hvor du i hver løkke lægger de tidligere koordinater til den totale forskydning af partiklen, til at give nogen mening. Så jeg vil hævde, at det ser ikke rigtigt ud.
Alle disse indvendinger er forkerte, må jeg erkende efter at have forstået 26.13.03. Din forklaring med manglende friktion giver mening. UNDSKYLD
Efter min opfattelse, er denne situation, RW med drift slet ikke en Random Walk, men sådan er der åbenbart andre, der opfatter det. Jeg vil bestemt tro, at du har fået programstumperne et sted fra, du har ikke selv udledt dem. Jeg blev forvirret af, at listen R(1)-R(6) oprindelig betegner en forskydning i de 6 retninger, men derefter pludselig er en hastighed.
Du har stadig ikke svaret på, hvor du har problemet fra. Jeg tror ikke på, at du selv forsker i kvantefluktuationer og jeg tror heller ikke på, at du har fået opgaven stillet af en, der gør. Mit gæt er, at du er i gang med en (efter)uddannelse. Jeg må nok stille mig til tåls med, at det får jeg ikke noget svar på. Jeg har ikke set nogle resultater fra RW med drift. Tiderne må være betydeligt kortere end dem du anfører fra almindelig RW. Jeg ville også gerne vide, om det formodes, at kvantefluktuationer beskrives bedst med RW uden drift eller med drift? Eller er det et helt åbent spørgsmål? Du kan jo ikke med et RW-program fastlægge en entydigt bestemt funktion, som angiver tiden for at nå ud til en vis afstand – du kan kun sandsynliggøre visse hypoteser.
Endelig vender jeg tilbage til number42, specielt dit indlæg om kvantemekanik 26.10.26. Jeg synes du blander begreberne lidt sammen, ved at omtale tid og rum, som hører til relativitetsteorien. Du skriver:
Fx når en stor masse roterer så følger rummet nær ved massen med rundt. Dette må høre til den almene relativitetsteori fra 1916. Hypotesen blev først fremsat i 1963, 8 år efter Einsteins død.
Jeg er stort set enig i din forklaring af selve kvantemekanikken, men mener dog, at den virkelig er mærkelig. Den er naturligvis ikke selvmodsigende, men resultaterne strider med vores dagligdags virkelighedsopfattelse. Man kan fx læse Feynmans Lectures on Physics, bind 3 fra 1960’erne, eller studere Aspects forsøg fra starten af 1980’erne. Franskmanden Aspect var selv overbevist om, at hans forsøg ville give det modsatte resultat, men Bohrs tolkning af kvantemekanikken bestod sin prøve. Jeg kan evt. ved anden lejlighed fortælle et eventyr, som blev formuleret af den tidligere gymnasielærer Bjørn Felsager, som var virkelig godt inde i detaljerne. Eventyrets pointe er, at kvantemekanikken er mærkelig.
Til allersidst vil jeg spørge Georg. Hvad du mener du med 26.12.00: Super; enig. Hvor har du fundet det?
Er du fortrolig med den almene relativitetsteori? Hvordan er du blevet det?
Da jeg skrev dette indlæg, havde jeg ikke set Georgs sidste indlæg. Jeg har 2 yderligere kommentarer
\(\sqrt{X^2+Y^2+Z^2}\) er ikke en position, men en afstand. Brugen af ordet position er forkert.
Og Ja, jeg kan godkende din metode/program. Det foretager en korrekt RW-beregning.
Re: Random walk i 3 dim.
.
.
Nåe, det er kun min egen nysgerrighed - har altid interesseret mig meget for naturfag...
Jeg benytter √(x2+y2+z2) til at sætte en plot prik på pc skærmen for at følge med i, hvor langt det tænkte masse-objekt er nået.
Ved at køre 10000 test med en radius på hhv. 250, 500 og 566 fås gennemsnits afvigelse-procenter på mindre end +/- 6,5 %. ("-" er for hurtig)
Har vedlagt nogle billeder og det er sandsynligt at t=d^2 og d=√t (d=distance) er korrekte.. for RW i 3 dim. uden drift.
Mht. bevægelse af selve rummet så syntes det ikke at være sagen i pågældende artikel - mere om virkningerne fra en kompakt masse, der giver det "sorte hul". Jeg har ikke kunne finde noget om, at selve rummet kan bevæge sig / rotere . Øv .
"Aspect var selv overbevist om, at hans forsøg ville give det modsatte resultat, men Bohrs tolkning af kvantemekanikken bestod sin prøve". Ja meget mærkeligt.
Hvordan kan man udtale sig præcist om een foton / elektron, når det mindste fysiske, man kan udtale sig om / undersøge enkeltvis, er større end 1.0 × 10-12m.
Mvh.
Georg
.
Nåe, det er kun min egen nysgerrighed - har altid interesseret mig meget for naturfag...
Jeg benytter √(x2+y2+z2) til at sætte en plot prik på pc skærmen for at følge med i, hvor langt det tænkte masse-objekt er nået.
Ved at køre 10000 test med en radius på hhv. 250, 500 og 566 fås gennemsnits afvigelse-procenter på mindre end +/- 6,5 %. ("-" er for hurtig)
Har vedlagt nogle billeder og det er sandsynligt at t=d^2 og d=√t (d=distance) er korrekte.. for RW i 3 dim. uden drift.
Mht. bevægelse af selve rummet så syntes det ikke at være sagen i pågældende artikel - mere om virkningerne fra en kompakt masse, der giver det "sorte hul". Jeg har ikke kunne finde noget om, at selve rummet kan bevæge sig / rotere . Øv .
"Aspect var selv overbevist om, at hans forsøg ville give det modsatte resultat, men Bohrs tolkning af kvantemekanikken bestod sin prøve". Ja meget mærkeligt.
Hvordan kan man udtale sig præcist om een foton / elektron, når det mindste fysiske, man kan udtale sig om / undersøge enkeltvis, er større end 1.0 × 10-12m.
Mvh.
Georg
- d3_d0_f250_o1000.jpg (79.91 KiB) Vist 28495 gange
- 3d_f500_1000.jpg (73.14 KiB) Vist 28495 gange
- 3d_dr0__f566_o1000.jpg (70.88 KiB) Vist 28495 gange