Afleveringsopgave 11 - Logistisk vækstfunktion

[DryWind4]

Så den øvre grænse M er 30000?



kan godt huske sætning 3 hvor jeg kunne aflæse det, og M/2. Men er ikke helt sikker på at det er det samme.

M/2 = 30000/2 = 15000

Men de vil gerne i b) have svar på på tidspunktet og ikke indbyggertallet. Det er jeg lidt i tvivl om hvordan jeg regner mig frem til. Er ikke sikker på om jeg kan regne det ud via en slags ligning, eller jeg skal have det ind i et program som geogebra?

Det svarer måske på C'eren, men ikke B'eren?

[JensSkakN]

a) JA
b) Du ved, at du skal bestemme det tidspunkt, hvor \(f(x)=\frac M 2\)
Dvs at nævneren skal være 2.
Derfor er \(\,\,34 e^{-0.157x}=1\implies e^{0.157x}=34\implies x=\frac{\ln{34}}{0.157}\)
Dette tal skal så beregnes.

c) Her skal du kunne differentiere, evt med CAS-hjælpemiddel
\(f'(x)={\frac{-30000}{(1+34\,e^{-0.157x})^2}}\cdot{{{(-0.157)}\cdot{34e^{-0.157x}}}}=7500\cdot{0.157}=1178\)
Enheden er pr. år

[DryWind4]

Hvordan beregner du b'eren? Jeg får fejl når jeg prøver at få CAS til at gøre det.

Hvordan vil du differentiere med CAS, igen er jeg ikke sikker på at jeg kan finde ud af det. Den beregning du laver i C'eren, er det sådan en ekstra en for at demonstrere det, eller er det en nødvendig udregning? Synes det er udfordrende at følge med her.

[JensSkakN]

Kan du ikke skrive
\(solve(34 \cdot {e^{-0.157x}}=1)\)

Det, jeg har gjort, er først at dividere med \(e^{-0.157x}\)
Jeg udnytter, at \(\frac 1 {e^{-0.157x}}=e^{0.157x}\)
Da \(34=e^{0.157x}\) må den naturlige logaritme til venstre siden være lig med den naturlige logaritme til højre siden.
\(\ln(e^y)=y\)

I c) har jeg valgt at differentiere, bl.a. fordi jeg ikke har adgang til mit sædvanlige CAS-værktøj for tiden.