Theta og QIF model

[tp1997]

Og jeg har også fundet det her, der basically gør det der skal gøres i opgave 10, men jeg kan ikke lige se mig ud af hvad de gør??

[JensSkakN]

Ja, se nu giver det mening. Den afgørende forklaring er den, du kommer med i dit første indlæg kl 14.55 i dag.
Det sidste indlæg fra kl. 15.06 er, så vidt jeg kan se, en 'omvendt' besvarelse at opgaven, hvor man ikke tager udgangspunkt i det, som opgaven lægger op til.
Men \(I(t)\) er ikke en strømstyrke, men en stimulus. Jeg vil stadig gerne høre, hvad I faktisk studerer og hvad faget hedder.
Vi skal tage udgangspunkt i Theta-modellen, som ikke er en tilfældig differentialligning, men denne DL
\(\theta\), det græske bogstav theta, kaldes fasen. Jeg kan ikke gennemskue grunden til dette.
\(\frac{d\theta}{dt}=(1-\cos \theta)+(1+\cos\theta)I(t)\)
Vi skal nu indføre en ny funktion \(V(t)\). Denne funktion har derimod en indlysende fysisk tolkning, nemlig potentialet, der i princippet kan måles med et voltmeter.
Den nye funktion indføres således \(V(t)=\tan(\frac {\theta} 2)\)
Nu skal vi differentiere denne funktion og regne på dette, så vi ender op med en ny DL. Men undervejs får vi brug for nogle trigonometriske formler, som jeg lige først vil vise
Der gælder \(\cos(2x)=2\cos^2(x)-1=1-2\sin^2(x)\)
Jeg ændrer vinklens navn \(x\) til \(\frac{\theta}2\) og omskriver
\(1-\cos \theta=2\sin^2(\frac {\theta} 2)\) samt
\(1+\cos \theta=2\cos^2(\frac {\theta} 2)\)
Så går vi i gang med at differentiere
\(\frac{dV}{dt}=\frac{d\tan(\frac{\theta}2)}{dt}={\frac 1 {2\cos^2(\frac{\theta} 2)}}\cdot{\frac {d\theta}{dt}}={\frac 1 {2\cos^2(\frac{\theta} 2)}}\cdot{(1-\cos\theta+(1+\cos\theta)I(t))}={\frac 1 {2\cos^2(\frac{\theta} 2)}}\cdot{(2\sin^2(\frac{\theta}2)+(2\cos^2{\frac{\theta}2})I(t))}\)
\(\frac{dV}{dt}=\tan^2\frac{\theta}2+I(t)=V^2+I(t)\)
Nu ses, at omskrivningen af Theta-modellen ender op med QIF-modellen. Altså er de to modeller ækvivalente.

I må endelige spørge, hvis der er konkrete detaljer, I ikke forstår; så skal jeg nok uddybe dem.
I indlægget fra 15.06 står der \(\Delta I\) i stedet for bare \(I(t)\). Det kan jeg ikke forklare.

[number42]

Vi har

\(\theta '(t)=a (\cos (\theta (t))+1)-\cos (\theta (t))+1\) hvor jeg bruger a i stedet for I(t) som antages at være en langsomt varierende funktion.

Hvis vi løser den diff ligning får vi
\(\theta (t) = 2 \tan ^{-1}\left(\sqrt{a} \tan \left(\sqrt{a} t+\sqrt{a} c_1\right)\right)\)

Ligeledes kan vi løse \(v'(t)=a+v(t)^2\) hvad giver \(v(t)= \sqrt{a} \tan \left(\sqrt{a} t+\sqrt{a} c_1\right)\)

Erstatter vi \(v\) med \(v= \tan \left(\frac{\theta }{2}\right)\) ved at indsætte løsningen til \(\theta(t)\)ovenfor

Finder vi

\(v(t) = \sqrt{a} \tan \left(\sqrt{a} t+\sqrt{a} c_1\right)\)

Hvilket er det samme resultat som ovenfor QED.

[tp1997]

Ahh, okay fantastisk, tak!!

Jeg læser ude på DTU, og det er et projekt vi er givet i et kursus der hedder Matematik 1.

Projektet handler om neuroner og hvordan de reagerer på en påvirkning - og det har vi så fået stillet en masse opgaver til at finde ud af.

Og det er tydeligvis via differentialligninger :)

[tp1997]

Efterfølgende er der også disse to opgaver.
Det er lige i opgave 10-12 vi er gået i stå nemlig..

[ringstedLC]

Én opgave (med underspørgsmål) pr. forum, - tak. Ellers bliver det let noget rod.

[JensSkakN]

Du er vist desuden nødt til at vise, hvad (5) er.

[number42]

tp1997

Jeg har lidt ondt af jer. Jeg troede man løste diff ligninger og diff data med neurale net nutildags.
Men det ligner mere et gammel biologi kursus.
Håber I har en god CAS.

[tp1997]

tp1997

Jeg har lidt ondt af jer. Jeg troede man løste diff ligninger og diff data med neurale net nutildags.
Men det ligner mere et gammel biologi kursus.
Håber I har en god CAS.

Tjo, det har vi - det kræver bare vi ved hvordan vi skal tænke først, og det er der vi er i lidt problemer :D