Trigonometri - sinusrelationerne

[michaelT]

Hej

Jeg er forundret og har brug for et par kloge ord.

Hvis jeg har en vilkårlig trekant med følgende mål:

Vinkel A: 50 grader
Vinkel C: 35 grader
Siden c: 30

Så kan jeg lynhurtig beregne de resterende sider og den sidste vinkel.

Vinkel B må være: 95 grader

Siden a: a= (30·sin⁡(50))/(sin⁡(35)) = 40,06673
Siden b: b= (30·sin⁡(95))/(sin⁡(35)) = 52,10437

Jeg har tegnet trekanten i GeoGebra - den er flot.

MEN, min forundring kommer så nu. Hvis jeg, efter at have fundet siden b, prøver at beregne VINKEL B, så giver det et andet svar.

Fx sin^-1(sin(50)*52,10437/40,06673) = 84,9999

Hvad gør jeg forkert?

Tak.

Mvh.
Michael

[JensSkakN]

Når man benytter sinusrelationen til at beregne en vinkel, er der altid mulighed for at blive snydt.
I virkeligheden beregner man sinus til vinklen. Sagen er, at \(\sin(85)=\sin(95)\) og din lommeregner eller Cas program giver resultatet 85.
Man bør derfor altid vælge en vinkel, som man med sikkerhed ved, ikke kan være stump, f.eks. vinklen over for en side, som ikke er den længste side i trekanten.
Ellers bør man regne videre med både den angivne vinkel \(v\) og vinklen \(180-v\).

[fusker]

Når man benytter sinusrelationen til at beregne en vinkel, er der altid mulighed for at blive snydt.
I virkeligheden beregner man sinus til vinklen. Sagen er, at \(\sin(85)=\sin(95)\) og din lommeregner eller Cas program giver resultatet 85.
Man bør derfor altid vælge en vinkel, som man med sikkerhed ved, ikke kan være stump, f.eks. vinklen over for en side, som ikke er den længste side i trekanten.
Ellers bør man regne videre med både den angivne vinkel \(v\) og vinklen \(180-v\).

Yes. Det skyldes at sin(v) = sin(180-v)
Ses direkte hvis man tegner en enhedscirkel og lægger vinklen v ind i den, med højre ben på x-aksen.
Så angiver venstre bens y - værdi sinus til vinklen, det samme gør vinklen (180 - v).

Ved endnu ikke om man kan lægge tegninger ind her.
fusker

[JensSkakN]

Det kan man.
Tryk forneden på den blå 'Vedhæftede filer'
Derefter på Tilføj filer og tilsidst på 'Placer inline'

sinus.png (93.38 KiB) Vist 20503 gange

[fusker]

Det kan man.
Tryk forneden på den blå 'Vedhæftede filer'
Derefter på Tilføj filer og tilsidst på 'Placer inline'

sinus.png

Tak, det vil jeg forsøge.
Men jeg tror den oprindelige spørger vil være bedst tjent med lommeregnersvaret:
sin (v) = sin(180 - v), f.eks. sin60(grader) = sin(180 - 60) = sin120 = 0,8660, og
sin(45) = sin (180 -45) = sin(135) = 0,7070
(NB: Det gælder kun for sinus!)

Eksempel: Hvis man har fundet at sin(v) = 0,23,så giver lommeregneren v = 13,30 grader og så husker man at
180 - 13,30 = 166,70 også er en løsning - teoretisk set!

Det er ikke mit indtryk at matematikundervisning nu om dage går ret meget op i den grafiske sammenhæng, så alt det med enhedscirkel osv. stempler mig.

Men egentlig spurgte MichaelT hvad han gjorde galt.
Må jeg lige kigge på det? Venligst, fusker

[michaelT]

Tak for svar.

Jeg er blevet meget klogere.

Som udgangspunkt havde jeg kigget på trigonometri'en indenfor retvinklede trekanter. Og blandt kigget på enhedscirklen der.
Og klart, at den jo ikke er tilsvarende når det gælder vilkårlige trekanter.

Tak!

[fusker]

michaelT:
Jeg er også blevet klogere, og det tog et stykke tid, men nu kan jeg i hvert fald sige at du har brugt formlerne rigtigt. Nu husker vi forhåbentlig begge to, at der er to løsninger til en sinusligning, og at man skal have en god tegning for at se hvilken løsning der er "mest rigtig".
Jeg trøster mig med at det er en ærlig sag at gå i vandet, og at selv den berømte danske skolebogsforfatter og matematiker Julius Petersen kom til at stille en opgave til skriftlig studentereksamen, som ikke havde nogen løsning ........ det er enhver matematiklærers mareridt!
VH fusker