Velkommen til Matematikcenter online forum Opret dig som bruger og få gratis adgang til Danmarks eneste gratis matematikhjælp for alle.
Har du allerede en bruger? Log ind her.
Jeg har denne diferentialligning af 2. orden. Jeg skal beregne de potensfunktioner, som er de funktioner af typen y(t)=t^n, som der er løsning til den tilsvarende homogene differentialligning.
Jeg er bekendt med hvordan jeg finder den partikulære og fuldstændige løsning for en differentialligning, men jeg kan ikke lige se hvordan denne skal løses, når det er en tilsvarende homogen og man skal finde de her potensfunktioner. Jeg er ligeledes bekendt med at den homogene differentialligning er venstresiden af diff. ligningen = 0.
Det, der er lig 0, er \(y''(\,t)\,-{\frac 5 t}\cdot {y'(\,t)\,}\)
Det er måske også det, du mener, men det kan misforstås.
For det første ser du, at ethvert konstant led kan bruges.
For det andet prøver du med ethvert led af typen \(a\cdot {t^n}\).
Ud over \(n=0\) (konstant led), giver det én anden mulig værdi for \(n\). \(a\) er der derimod ingen begrænsning på. Hermed er den homogene DL løst.
Hvordan kan det være at sidste led af differentialligningen ikke er en del af den tilsvarende homogene differentialligning? Er det fordi den sidste del anses som værende værdien af konstanten "k"?
Hvordan ser jeg at ethvert konstant led kan bruges? Og når jeg prøver med ethvert led af typen a*t^n, hvordan kan jeg bruge det til at løse DL'en?
Dejligt at du gør det klart, hvad dine problemer er.
En differentialligning består af led med den ubekendte funktion, der i matematik for det meste kaldes \(y\), samt dens afledede \(y',\,y''\) osv. Derudover led, der ikke indeholder funktionen, men f. eks. \(-\frac 5 {t^2}, \frac{20}{t^5}\). I den homogene differentialligning indgår de led, der ikke indeholder funktionen, ikke. Derfor ser den ud, som jeg skriver. Det er principielt underordnet, hvad der er skrevet til højre og til venstre for lighedstegnet. Så svaret må vist være 'nej' til dit andet spørgsmål.
Hvis \(y(\,t)\,=k\), som er konstant, er \(y'(\,t)\,=y''(\,t)\,=0\).
Dermed er \(y''(\,t)\,-{\frac5 t}\cdot{y'(\,t)\,=0}\) og den homogene differentialligning er opfyldt.
Nu indsætter jeg \(y(\,t)\,=a \cdot {t^n}\)
Deraf følger \(y'(\,t)\,={ a\cdot n}\cdot {t^{n-1}}\) og \(\,y''(\,t)\,={ a\cdot n}\cdot{{(\,n-1)\,}\cdot{t^{n-2}}}\)
Dette indsættes nu i den homogene differentialligning. Bemærk, at \(\frac{t^{n-1}}t=t^{n-2}\) \({ a\cdot n}\cdot{{(\,n-1)\,}\cdot{t^{n-2}}}-{ 5a\cdot n}\cdot {t^{n-2}}=0={ a\cdot n}\cdot{{(\,n-6)\,}\cdot{t^{n-2}}}\)
Da dette skal være opfyldt for alle \(t>0\), betyder det at \(n=0 \vee n=6\)
Ah, jeg kan se at jeg har glemt at skrive y(t) til allersidst i min oprindelige differentialligning. Derfor forstod jeg ikke at sidste led ikke skulle medtages, men det skal det selvfølgelig - Jeg kunne bare have skrevet rigtigt i den ligning jeg har indsat.. :-)
Jeg kan godt følge tankegangen med at forfølge ligningen på denne måde, men hvordan finder du værdierne 0 og 6 for n?
Ja det ændrer jo sagen, hvis det i virkeligheden var en anden DL, du skulle løse. Så er min løsning heller ikke rigtig.
Men ud fra det, du havde skrevet, nåede man frem til \(\,\,{{a\cdot {n\cdot {(n-6)}}}\cdot {t^{n-2}}}=0\)
Hvis man indsætter \(n=0\) eller \(n=6\) i dette (eller a=0), er ligningen opfyldt.
Med med \(y(t)\) tilføjet, bliver det \(n^2-6n-5=0\). Nu er et konstantled ikke længere en løsning, men løsningen er formentlig forkert. Skulle det ikke være \(+{\frac 5 {t^2}}\cdot {y(t)}\)??
