Vis at tallet "i" er en rod i f(z)

[JoergenBang]

halløj matematik center

jeg skal vise at tallet "i" er en rod i f(z):

Udklip.PNG (1.73 KiB) Vist 18679 gange

og derefter skal jeg bestemme samtlige rødder til f(z).

hvad kan jeg gøre for at løse?

[JensSkakN]

Du bør skrive, hvad du ved. Helt konkret fremgår det ikke, om du kender tallet \(i\).
\(i\) er et såkaldt komplekst tal. Det gælder, at \(i^2=-1\). Når dette indsættes for \(z\) får man \((\,-1)\,^2-8i-21+8i+20\). Men dette giver jo netop \(0\) og dermed er det vist, at \(i\) er en rod.
Man indser hurtigt, at \(-i\) ligeledes er en rod. Altså er \(z^2+1\) divisor i polynomiet.
Du foretager nu polynomiums division og har et andengradspolynomium, som kan løses.
Hvis du ikke forstår min forklaring må du skrive igen og præcisere dine forudsætninger.

[JoergenBang]

sorry, ja jeg skulle nok have skrevet at "i" menes i relation til komplekse tal, og f(z) er et polynomium. Der er ikke givet yderligere informationer, eller værdier for "i".

[JoergenBang]

Når "i" indsættes, giver det andet led så ikke "-8i" frem for "-8"?

Edit: Nevermind. Sorry, det var mig der havde læst forkert :)

[JensSkakN]

Jo, andet led giver \(-8i\), men det har jeg da også skrevet?

[JoergenBang]

ift at bestemme samtlige rødder til f(z), hvordan bestemmer du så divisoren. jeg er bekendt med polynomiumsdivision, og ved at man skal have en divisor og undersøge om den går op i dividenten, men jeg kan ikke lige se hvordan du har bestemt hvad divisoren er??

[JensSkakN]

Når koefficienterne er reelle tal, optræder de komplekse rødder altid i komplekst konjugerede par.
Derfor er divisoren \((\,z-i)\,(\,z+1)\,=z^2+1\).
Når du nu udfører polynomiumsdivision, så går divisionen op.