Grænseværdier

[Jess123]

Hvordan finder jeg grænseværdien for pi^- ?

Jeg har skrevet følgende. Er det korrekt og er det fyldestgørende? Hvad kan jeg eventuelt skrive?

Grænseværdien for f(x) gående mod 0^+ for x er lig 0, hvilket passer med Maples resultat.

Vi finder lim┬(x→π^- )⁡〖f(x)〗 uden brug af Maple. Grænseværdien for f(x) gående mod π^- for x er lig ∞, fordi det ene led 2/x går mod en konstant, mens det andet led -(2·cos⁡(x))/sin⁡(x) går mod uendelig, hvilket passer med Maples resultat. Uanset hvilket tal man sætter ind på tællerens plads, vil man få et positivt tal og dermed vil hele leddet gå mod plus uendelig, fordi tælleren er -2·cos⁡(x).

[ringstedLC]

Hvordan finder jeg grænseværdien for pi^- ?

Grænseværdien for f(x) gående mod π^- for x er lig ∞

Det er x, der går mod \(\pi^{-}\), ikke f(x).

Uanset hvilket tal man sætter ind på tællerens plads, vil man få et positivt tal...

Nej, men for \(x\rightarrow \pi^{-}\) går tælleren mod -2 og nævneren mod 0.
Hele leddet går derfor mod \(\infty\).

[Jess123]

Er dette svar fyldestgørende

Vi finder lim┬(x→π^- )⁡〖f(x)〗 uden brug af Maple. Grænseværdien for f(x) gående mod π^- for x er lig ∞, fordi det ene led 2/x går mod en konstant, mens det andet led -(2·cos⁡(x))/sin⁡(x) går mod uendelig. For x→π− går tælleren mod -2 og nævneren mod 0. Hele leddet går derfor mod uendelig, hvilket er i overensstemmelse med maples resultat.

[JensSkakN]

Du mangler lige at tilføje, at nævneren er positiv, da det er afgørende.
Det undrer mig, at man taler om en grænseværdi på \(\infty\), selvom Maple gør det. Efter min opfattelse siger man, at der i så fald ikke er nogen grænseværdi.
Du har ikke vist, at den anden grænseværdi er 0, hvad den helt korrekt er. Min umiddelbare tanke er, at det kræver, at man rækkeudvikler \(\cos x\)

[Jess123]

Hvilken nævner er det, der er positiv og hvordan hænger det sammen med at grænseværdien er uendelig?

[Jess123]

Hvordan kan man argumentere på en ordentlig måde at grænseværdien er uendelig

[JensSkakN]

Du skriver
for \(x\to \pi^-\) går tælleren mod \(-2\) og nævneren mod 0.
Det er denne nævner, der er positiv. Du kan skrive
for \(x\to \pi^-\) går tælleren mod \(-2\) og nævneren mod \(0^+\).

[Jess123]

Hvad med nu

[JensSkakN]

Det er også fint. Bemærk dog, at du bedes om først at bruge Maple og derefter gøre det uden Maple.

[JensSkakN]

Du mangler at vise, uden Maple, at \(\lim\limits_{x\to 0^+}f(\,x)\,=0\).
Det er lidt vanskeligere, men jeg har følgende forslag
Der gælder, at for \(x>\,0\)
\(\tan\,x>\,x\Leftrightarrow \frac{1}{x}>\frac{1}{\tan\,x}=\frac{\cos\,x}{\sin\,x}\Leftrightarrow f(\,x)\,>\,0\)
Men desuden gælder, at \(\cos(\,x)\,>1-\frac{x^2}{2}\), så
\(f(\,x)\,=\frac{2}{\sin\,x}\cdot \frac{sin\,x}{x}-\frac{2 \cos\,x}{\sin\,x} < \frac{2(\,\frac{\sin\,x}{x}-1+\frac{x^2}{2})\,}{\sin\,x}<x\cdot \frac{x}{sin\,x}\implies \lim\limits_{x\to 0^+}f(\,x)\,\leq 0\cdot 1 =0\)
Tilsammen giver disse to uligheder, at \(\lim\limits_{x\to 0^+}f(\,x)\,=0\)