Beviser

[Jess123]

Er dette korrekt

x·y er ulige, hvis og kun hvis x er ulige og y er ulige.

Vi starter med et direkte bevis. Antag altså at x·y er ulige. Sætning 54 siger, at et helt tal x er ulige hvis og kun hvis der findes et helt tal n, så x=2n+1. Vi indsætter x=2m+1 hvor m ϵ z og y=2n+1 hvor n ϵ Z i x·y og får
x·y=(2m+1)·(2n+1)=4mn+2m+2n+1 =2(2mn+m+n)+1
Vi har formen af et ulige tal, hvor der står 2 et eller andet plus 1. Hvis udtrykket ovenfor er et heltal, så har vi vist, at det er et ulige tal. 2(2mn+m+n)+1 kan altså skrives som et ulige tal på formen 2k+1. Dermed har vi bevist, at x·y er ulige, hvis og kun hvis x er ulige og y er ulige.

x·y er lige, hvis og kun hvis x eller y er lige.

Vi starter med et direkte bevis, hvor vi skal bevise, at x·y er lige, hvis og kun hvis x eller y er lige. Vi antager, at x·y er lige. Vi indsætter x=2m og y=2n+1 m,n ϵ Z og får
x·y=(2m)·(2n+1)=4mn+2m=2(2mn+m)=2p
Udtrykket 2(2mn+m) er et heltal, fordi produktet af to heltal er et heltal. Når der ganges med 2, er det et heltal, og når man lægger et heltal til et andet heltal, er det også et heltal. Det betyder, at 2mn er et heltal, hvor vi lader 2mn + m = p ϵ Z . Udtrykket 2(2mn+m) kan altså skrives som et lige tal på formen 2p. Dermed har vi bevist, at x·y er lige, hvis og kun hvis x eller y er lige.

[JensSkakN]

Det her er svært, men du går jo heller ikke i gymnasiet. 'Hvis og kun hvis' betyder noget helt bestemt for en matematiker. Jeg opfatter det, du skriver, som to sætninger, som du forsøger at bevise hver for sig. I så fald er det ikke lykkedes.
Jeg kommenterer første halvdel. Du skriver, at du antager, at \(x \cdot y\) er ulige, men det er ikke sådan, du bygger beviset op. I beviset antager du, at \(x\) er ulige og at \(y\) er ulige, og så viser du, at i så fald må \(x \cdot y\) også være ulige-
Du har altså vist, at \(x\, ulige \land y\, ulige \Rightarrow x \cdot y \,ulige\)
Men 'hvis og kun hvis' betyder, at du skal vise, \(x\, ulige \land y\, ulige \iff x \cdot y \,ulige\), så du mangler at vise den 'modsatte' sætning.
Prøv selv

[Jess123]

Kan du vise det omvendte bevis? Jeg fatter hat af beviser.

[JensSkakN]

Hvis \(x \cdot y\) er ulige, giver produktet 1 til rest når man dividerer med 2.
Men I næste sætning viser du, at hvis bare en af dem er lige, så bliver produktet lige. Da produktet ikke er lige, må både \(x\) og \(y\) være ulige. (modstridsbevis)

[Jess123]

Kan den anden vej forklares sådan her? I øvrigt hvordan argumenterer jeg for, at 2(2mn + m + n) er et hel tal?

[Jess123]

Nu beviser vi den anden vej. Vi skal vise

Hvis x og y er ulige, så er x * y ulige.

Hvis x * y er ulige, giver produktet 1 til rest, når man dividerer med 2. Hvis x eller y er lige, så bliver produktet lige. Vi sætter x = 2n og y = 2m + 1 og får

2n * (2m + 1) = 4mn + 2n, hvor m, n er heltal

Det ses, at resultatet er et lige tal. Da produktet af x * y er ulige må både x og y være ulige. Dermed har vi bevist, at x * y er ulige, hvis og kun hvis x er ulige og y er ulige.

[JensSkakN]

Når m og n er hele tal, så er ethvert resultat, der fås ved multiplikation eller summation af disse også være et helt tal.
Du skriver: Vi skal vise
Hvis x og y er ulige, så bliver x*y ulige

NEJ, det havde du allerede vist. Det du nu skal vise. er
Hvis x*y er ulige, så må både x og y være ulige

og det er også det, du faktisk viser.