Grænseværdier

[ringstedLC]

Skal jeg bruge større end eller lig med ulighedstegn eller bare skarp ulighed dvs. f´(x) > 0 for alle x > 0

Brug ">", da f(x) skal være poositiv.

[Jess123]

Ringsted hvad med x < 0. Er det rigtigt eller skal det være større end eller lig med?

[ringstedLC]

\(\text{Det skal være }x\geq 0 \\
x\in \left[\,0,\infty\right[\Rightarrow 0\leq x <\infty\)

[GeraldN]

Til ringstedLC

Du skal skrive f′(x) > 0 for alle x ≥ 0.

Præcis!

Det skal være x ≥ 0 x ∈ [0,∞[ ⇒ 0 ≤ x < ∞

Præcis!

Til Jess123

OK, en lille opsummering for opgave b):

Hvordan kan man vise, at y' er positiv for alle x i definitionsmængden? Vi skal udføre 3 trin:

1. Bestem førsteafledede funktion f'(x).

2. Tag en vilkårlig x-værdi inden for definitionsmængden, og se om dens tilsvarende f'(x)-værdi er positiv. Hvis den er negativ, er vi færdige, for så har vi vist, at den ikke er positiv for alle x.
Det nemmeste i dit tilfælde er at bestemme y' for x = 0 fordi alle led med et multiplum af x udgår. Min kugleramme siger, at y' = 5 / 27 for x = 0, eller udtrykt som decimaltal 0,185185...

3. Hvis vi har fundet bare 1 positiv værdi, behøver vi kun se efter, om f'(x) har en rod inden for definitionsmængden. Hvis rødderne ligger uden for definitionsmængden, har vi vist, at alle y' er positive inden for definitionsmængden.

Lyder det plausibelt?

[GeraldN]

Til JensSkakN
indsat billede, fordi jeg er novice angående LaTeX

MatSvar003.jpg (103.49 KiB) Vist 6400 gange

Er det forkert?

[JensSkakN]

Ja, der er flere fejl.
For det første skulle der stå \({g(\,x)\,}\cdot{(\,x-7)\,}={(\,x-7)\,^4}=0\).
For det andet har du undervejs ganget med \((\,x-7)\,\) uden først at tage forbehold for at \(x\) skal være forskellig fra 7.
Derfor risikerer du at gange med 0, hvilket ikke er tilladt.

Som en konsekvens af den anden fejl får du omskrevet en ligning uden nogen løsning til en ligning med løsningen \(x=7\). Det må naturligvis være forkert.

[ringstedLC]

Tillader mig at svare...
Ja, fordi du ikke betinger dig at:
\(x-7\neq 0\)
da der må ikke ganges med nul på begge sider af lighedstegnet.

Eksempel på hvorfor det er "ulovligt":
\(x-7=8 \\
0\cdot (x-7)=0\cdot 8 \\
0=0\)

Ligningen har ingen løsninger:
\(g(x)=\frac{(x-7)^4}{x-7}=0 \\
\frac{(x-7)^4\,(x-7)}{x-7}=0\cdot (x-7)\;,\;x-7\neq 0\Rightarrow x\neq 7 \\
(x-7)^4=0 \\
x-7=\sqrt[4]{0} \\
x=0+7=7\)

som må forkastes pga. betingelsen.

NB. Start hellere et nyt forum, istedet for at gøre dette længere med nye spørgsmål.

[GeraldN]

Tak for svarene! Angående ny tråd: God idé, da mine spørgsmål jo er off-topic.