Grænseværdier

[Jess123]

Jeg har brug for hjælp til b). Er i tvivl om mit svar er rigtigt. Jeg har svaret følgende:

Vi differentierer f(x) vha. CAS-værktøjet Wordmat:
f(x)=(3x^2-x-2)/(3x^2+12x+9)

Udtrykket differentieres vha. CAS-værktøjet WordMat.
(22·x+13·x^2+5)·(72·x+3·x^4+24·x^3+66·x^2+27)^(-1)=(22·x+13·x^2+5)·(72·x+3·x^4+24·x^3+66·x^2+27)^(-1)

Jeg har reduceret f´(x) vha. Maple og fået følgende

((13·x^2+ 22·x + 5).(1/((x+ 3)^2·(x + 1)^2 )))/3

f´(x) er positiv for alle x∈[0,∞┤[, da brøken har samme fortegn i både tæller og nævner. Man kan også vise det ved at tegne grafen for f´(x).

Jeg har tegnet grafen vha. Geogebra. På grafen kan vi se, at for alle x∈[0,∞┤[ er f´(x) positiv, fordi den har positive funktionsværdier i det interval.

[JensSkakN]

Det undrer mig lidt, at du blander wordmat og Geogebra ind i det, når det hele kan klares i Maple.
Dit reducerede udtryk for \(f'(\,x)\,\) er korrekt, men din argumentation er ikke helt i orden.
Du kan jo ikke lave en graf der går helt til uendelig og du kan heller ikke være sikker på, at der ikke er et sted mellem to prikker, hvor grafen i virkeligheden dykker ned og bliver negativ, uden at du ser det.
Så din argumentation skal være mere stringent.
Nævneren er et polynomium som er positiv for alle x i definitionsmængden. Hvis vi udvider DM til alle reelle tal, er den 0 for \(x=-1\) og for \(x=-3\). På samme måde kan du finde rødderne for tælleren og indse, at de begge er negative, og derfor er polynomiet positivt i hele DM. Derfor er \(f'(\,x)\,\gt 0\) for alle \(x \gt 0\).

[Jess123]

Hvordan har du fundet ud af, at x =-1 og x=-3

[ringstedLC]

Hvordan har du fundet ud af, at x =-1 og x=-3

Sikkert ved brug af nulreglen:
\(0=\left(x + 1 \right)^{2}\left(x + 3 \right)^{2}
\Rightarrow 0=\left(x + 1 \right)^{2}\vee 0=\left(x + 3\right)^{2}\)

Din reduktion er ikke helt færdiggjort:

\(f'(x)=\frac{(13x^{2} + 22x + 5)\cdot \frac{1}{\left(x + 1 \right)^{2}\left(x + 3 \right)^{2}}}{3} \\
f'(x)=\frac{13x^{2} + 22x + 5}{3\,\cdot \,\left(x + 1 \right)^{2}\left(x + 3 \right)^{2}}\;,\;x\in\left[0;\infty\right]\)

Ved vis at ... mener jeg, at du skal beregne:
\(f'(x)>0 \\
0<\frac{13x^{2} + 22x + 5}{3\,\cdot \,\left(x + 1 \right)^{2}\;\left(x + 3 \right)^{2}} \\
0<13x^{2} + 22x + 5\;,\;3\cdot \left(x + 1 \right)^{2}\left(x + 3 \right)^{2}>0 \\
0<13x^{2} + 22x + 5\Rightarrow f'(x)>0 \\
f'(x)>0\Rightarrow x\geq 0\text{ med GG's CAS}\)

[JensSkakN]

Jeg er enig i, at man skulle bruge nulreglen, når man ser på nævneren.
Tælleren, \(13x^2+22x+5\), er et andengradspolynomium, der er positivt uden for rødderne.
Da begge rødder er negative, er det positivt i definitionsmængden.
Altså er \(f'(\,x)\, \gt 0\) i hele definitionsmængden.
Den sidste påstand, om at \(f'(\,x)\, \gt 0 \implies x\ge 0\) er forkert (hvis man da ser bort fra definitionsm.), men heldigvis også overflødig.

[Jess123]

Så det jeg skal gøre er at beregne rødderne for tælleren og derefter for nævneren. Når jeg viser, at begge rødder er negative, så er f’(x) positiv i hele definitionsmængden. Dermed er f’(x) > 0. Er der mere jeg skal skrive eller er det nok?

[Jess123]

Jeg har formuleret det sådan her

[JensSkakN]

Jeg kan ikke finde ud af at se den vedhæftede fil, men det du skriver, lyder helt korrekt.

[GeraldN]

Lige en ting, som gør det lidt nemmere: Det er slet ikke nødvendigt at beregne rødderne for polynomiet i nævneren, da ligningen er en brøk lig med 0.
Hvis man ganger begge sider af lighedstegnet med nævneren, ganger man jo nævneren på højre side med 0, og nævneren går derved ud.

En detalje, som er vigtigt at få rettet her, er at intervaller er altid åbne mod uendelig: x ∈ [0, ∞[
For vi vil aldrig kunne bestemme værdien for uendelig.

[Jess123]

Jeg har skrevet følgende:

Vi differentierer f(x) vha. CAS-værktøjet Wordmat:
f(x)=(3x^2-x-2)/(3x^2+12x+9)
Udtrykket differentieres vha. CAS-værktøjet WordMat.
(22·x+13·x^2+5)·(72·x+3·x^4+24·x^3+66·x^2+27)^(-1)=(22·x+13·x^2+5)·(72·x+3·x^4+24·x^3+66·x^2+27)^(-1)

Vi finder rødderne for f´(x)
(22·x+13·x^2+5)·(72·x+3·x^4+24·x^3+66·x^2+27)^(-1)=0
⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
x=-1,421793444 ∨ x=-0,270514248189

Da rødderne for f´(x) er negativ, er f´(x) positiv i definitionsmængden [0,∞]. Altså er f´(x)>0 for alle x > 0 i hele definitionsmængden.