Parametriseringer og omdrejningsflader

[ringstedLC]

N og B skulle have været N og V

Til orientering: Øverst til højre i dine svar, er der en "Rediger indlæg"-knap.

Og man kan jo forresten også helt slette et svar, så tråden bliver "renere".

Ja, - har også undret over, hvorfor der ikke kommer nogle figurer,
istedet for de alenlange tekster.

Først lige en lille, men vigtig advarsel:
Dine billeder må ikke være for "tunge", altså i dimensioner som pixels/KB.
Jeg forstår du også bruger GG, og i begyndelsen gik det altid galt for mig
efter tryk på "Gem", uploadning og indsætning, når jeg så trykkede "Vis prøve".
Hele siden crashede, så om igen!

GG vælger selv nogle værdier udfra zoom og detaljeringsgrad.
Her bruger jeg så png-formatet i dpi 150 og justerer "enheder", så "Størrelse" højst bliver ca. 15x15 cm.
Bemærk: Man kan ikke editere i billedestørrelsen på sitet. Og jeg har aldrig oplevet, at et billede blev for småt.

Vedh. filer01.png (10.89 KiB) Vist 7207 gange

Vedh. filer02.png (13.02 KiB) Vist 7207 gange

Vedh. filer03.png (25.22 KiB) Vist 7207 gange

Et billede kan flyttes ved at flytte hele linjen.

[Yarri]

Hej Jens,

Ja, du har helt ret. Det er matematik på ingeniør niveau, og det jeg har fået i 4.1 er følgende.

Jeg har fået min parametrisering til: r1(ulv) = <cos(v)*sin(u), cos(u), -sin(v)*sin(u)>.
Skyggegrænsen har jeg fået til: skyggegrænse(t) = arctan(cos(t)/sin(t)) - Pi
Den totale energimængde har jeg fået til: E_tot = Pi + (1/2)*Pi^2

Mit problem er bare, hvordan skal man starte med at lave p-fremstillingen for keglen således man senere kan finde den totale energimængde i samme opgav?

[JensSkakN]

Jeg havde skrevet et svar i lang tid, og så mistede jeg pludselig forbindelsen.
Nu får du et kort svar.
Som jeg forstår det, angiver du v med skyggegrænse(t). Du overser vist nok, at der tale om en lineær funktion, og der er nogen galt med detaljerne, idet den varierer fra \(-\frac{\pi}{2}\) til \(-\frac{3\pi}{2}\)
Jeg er enig i din \(E_{total}\). Jeg havde selv glemt en faktor 2.
Så til keglen
Forestil dig, at du tegner en linje fra toppunktet gennem et punkt på keglen ned til cirklen.
Ethvert punkt på keglen kan angives ved 2 parametre, vinklen \(\varphi\) fra det punkt på cirklen, der peger mod solopgang til linjen gennem punktet, samt afstanden \(x\) fra toppunktet til punktet.
Ved at benytte normalvektoren til tangentplanen til keglen i punktet med parametrene (\(\varphi, x\)) sammen med kravet om at solfeltet er ortogonalt på denne normalvektor, kan man bestemme \(\varphi=\arccos(\,-\tan t)\,\).
Der er kun skygge på noget af keglen indtil \(t=\frac{\pi}{4}\)
Grafen er vist. Jeg slutter her, men fortsætter måske i morgen med at beregne tværsnitsarealet og fluxen som en funktion af t.

[Yarri]

Hej Jens,

Nu har jeg prøvet at gøre det du har sagt, men jeg kan ikke komme videre.

Kan du se hvad jeg har gjort galt?

Skærmbillede 2020-04-08 kl. 09.28.59.png (168.42 KiB) Vist 7198 gange

[JensSkakN]

Hvordan ved du, at du har gjort noget galt? Du skulle beregne et decimaltal. Har du en facitliste?
Men jeg er næsten sikker på, at du har gjort galt. Men først kommenterer jeg lidt.
Du definerer u som afstanden fra omdrejningsaksen til et punkt på kegleoverfladen. Det er lidt anderledes end mit forslag, men uden betydning.
Din formel til beregning af \(\varphi(\,t)\,\) er reelt identisk med min, men jeg synes min er pænere.
Så vidt jeg kan se, tager du kun hensyn til cirklen, der projiceres til en ellipse, du tager ikke hensyn til spidsen af keglen, der for \(0\le t<\frac{\pi}{4}\) rager op over ellipsen.
Jeg har tegnet keglen set ovenfra til \(t=0.6\). Til det tidspunkt er \(\varphi=2.324\). Jeg har indtegnet skyggegrænsen.
A er keglens toppunkt og B er det punkt på cirklen, der vender mod solopgang.

kegle1.png (11.72 KiB) Vist 7192 gange

Derefter har jeg lavet en anden tegning af keglen set fra solen. Til det formål skal cirklen omdannes til en ellipse med den halve lilleakse \(\sin
t\) og keglens højde målt fra ellipsens midtpunkt er \(\cos t\). Det forhold, at keglens sider er tangenter til ellipsen, bekræfter, at konstruktionen er korrekt.
Arealet af det belyste cirkeludsnit er \({\pi}\cdot{\frac{\varphi}{\pi}}=\varphi\).
Arealet af den belyste del af ellipsen er så \({\varphi}\cdot{\sin t}\)
Firkanten kan opfattes som 2 trekanter med samme grundlinje \(\cos t\) og med højde \(\sin\varphi\)

Kegle2.png (14.51 KiB) Vist 7192 gange

Herefter kan den samlede energi beregnes
\(E_{total}={2}\cdot{(\,\int_0^{\frac{\pi}{4}}\mathrm(\,{\arccos(\,-\tan t)\,}\cdot{\sin t}+{\cos t}\cdot{\sin(\,\arccos(\,-\tan t})\,)\,)\, \mathrm{d}t+\pi\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\mathrm(\, \sin t)\,\mathrm{d}t)\,}\)
Med Maple har jeg fået \(E_{total}=6.9618\)
Til sammenligning gav halvkuglen \(8.0764\).

[Yarri]

Mange tak for hjælpen!!