3.grads polynomium

[Kathrine]

Hej, jeg er blevet stillet følgende underspørgsmål i min SRO, som jeg ikke forstår helt.
Hvordan kan man få et 3. grads polynomium til at gå igennem to vilkårlige punkter og samtidig have to vilkårlige hældninger i disse punkter.

[number42]

et trediegrads poly: y =a x^3+b x^2+c x+d

P1: y1 = a x1^3+b x1^2 +c x1 +d
P2: y2 = a x2^3+b x2^2 +c x2 +d

Hældninger : y' = 3 a x^2+ 2 b x+ c
h1: dy1' = 3 a x1^2 + 2 b x1 +c
h2 : dy2' = 3 a x2^2 + 2 b x2 +c

Fire ligninger med 4 ubekendte.

{a -> -((-dy1 x1 - dy2 x1 + dy1 x2 + dy2 x2 + 2 y1 -
2 y2)/(x1 - x2)^3),
b -> -(1/((x1 - x2)^3))(dy1 x1^2 + 2 dy2 x1^2 + dy1 x1 x2 -
dy2 x1 x2 - 2 dy1 x2^2 - dy2 x2^2 - 3 x1 y1 - 3 x2 y1 +
3 x1 y2 + 3 x2 y2),
c -> -(1/((x1 - x2)^3))(-dy2 x1^3 - 2 dy1 x1^2 x2 - dy2 x1^2 x2 +
dy1 x1 x2^2 + 2 dy2 x1 x2^2 + dy1 x2^3 + 6 x1 x2 y1 -
6 x1 x2 y2),
d -> -(1/((x1 - x2)^3))(dy2 x1^3 x2 + dy1 x1^2 x2^2 - dy2 x1^2 x2^2 -
dy1 x1 x2^3 - 3 x1 x2^2 y1 + x2^3 y1 - x1^3 y2 + 3 x1^2 x2 y2)}


Hvad er så problemet?

x1 skal være forskellig fra x2. Meget rimeligt de to punkter skal være forskellige

-dy1 x1 - dy2 x1 + dy1 x2 + dy2 x2 + 2 y1 - 2 y2 skal være forskellig fra nul, ellers er det ikke en trediegrads ligning,

Eksempel
x1 = 1; x2 = 2; dy1 = 3; dy2 = 4; y1 = 5; y2 = 2
{a -> 13, b -> -58, c -> 80, d -> -30}