Modellering 2

[studerende]

Nogen, der kan hjælpe mig her til, hvad jeg skal gøre?

[number42]

Din overgangs matrix er

\(P^{n} = \left[ \begin{array}{cc}
\frac{ a (1 - a - b)^n}{a + b} + \frac{b}{a + b} & \frac{a}{a + b} - \frac{(a (1 - a - b)^n}{a + b} \\
\frac{b}{a + b} - \frac{(1 - a - b)^n b}{a + b} & \frac{a}{a + b} + \frac{(1 - a - b)^n b}{a + b} \\
\end{array}\right]\)

Men jeg tror jeg ikke rigtig forstår hvor man så skal hen for at bevise det ønskede.

Jeg forstår nok ikke nomenklaturen.

[HenningTh]

Det fremgår ikke af opgaven hvad definitionen på \(P_1(T_1 = n)\) er. Så jeg antager at det er sandsynligheden for at besøge tilstand 1 efter \(n\) trin, givet at Markovkæden er i tilstand 1. Dvs.

\(T_1 = \min \{ n \ge 1 \mid X_n = 1, X_0 = 1 \}\).

Hvis \(n = 1\), betyder dette, at Markovkæden går i tilstand 1 efter 1 trin, som jvf. matricen \(P\) er \(1-a\).

Hvis \(n \ge 2\), skal Markovkæden først gå fra tilstand 1 til 2, som har sandsynlighed \(a\).
Dernæst skal den gå fra tilstand 2 til 2 \(n-2\) gange, som har sandsynlighed \((1-b)^{n-2}\).
Tilsidst skal den returnere til tilstand 1, som har sandsynlighed \(b\).

Ganger man disse sammen, får man \(ab(1-b)^{n-2}\), hvoraf resultatet følger.

Mht. det sidste spørgsmål, så er en tilstand rekurrent hvis der er en positiv sandsynlighed for at kæden returnerer til den efter et endeligt antal trin.

Dette betyder, at indgang (1,1) (1.række, 1.søjle) i matricen \(P^n\), som number42 har udledt, skal summere \(\infty\), når \(n \to \infty\), jvf. theorem 13.1 i https://www.math.ucdavis.edu/~gravner/M ... s/ch13.pdf.

Dvs. vi skal finde de værdier af \(a\) og \(b\), så

\(\sum_{n=1}^{\infty}P_{11}^n = \infty\).

Vi har, at \(\sum_{n=1}^{\infty}P_{11}^n = \frac{a}{a+b}\sum_{n=1}^{\infty}(1-b-a)^n + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{b}{a+b}\).

Man kan se, at hvis \(a=1, b=0\), så er summen 0, hvilket medfører at tilstand 1 ikke er rekurrent.

[number42]

OK:
Hvis a =0 så bliver systemet i 1 og hvis a>0 så skal b >0 for at systemet skal kunne vende hjem til 1.
Nemt at se fra et diagram.

Jo det er da muligt at det er betydningen af T1, men det er lidt som at give hvad Xn er og S og P og så spørge hvad hedder Søren.

[studerende]

Dette betyder, at indgang (1,1) (1.række, 1.søjle) i matricen \(P^n\), som number42 har udledt, skal summere \(\infty\), når \(n \to \infty\), jvf. theorem 13.1 i https://www.math.ucdavis.edu/~gravner/M ... s/ch13.pdf.

Vi har fået besked på ikke at må bruge den ligning du henviser til. Og da der står "vis" i opgaven, hvordan skal jeg så vise P1(T1=n)? eller er det nok at forklare det du skriver?

[number42]

Da først betydningen af P1(T1=n) var klart er sagen jo meget simpel. Tegn fx en tegning der viser de to mulige tilstande 1 og 2 samt de overgange der beskrives ved matricen for P. Det er så indlysende ved inspektion at resultatet bliver a b (1-b) ^n-2 altså først forlader man tilstand 1 ved at a hænder og dernæst cirkulerer man n-2 gange om tilstand 2 for derefter at returnere til 1 ved at b hænder.

Det er meget simpelt.

[HenningTh]

Dette betyder, at indgang (1,1) (1.række, 1.søjle) i matricen \(P^n\), som number42 har udledt, skal summere \(\infty\), når \(n \to \infty\), jvf. theorem 13.1 i https://www.math.ucdavis.edu/~gravner/M ... s/ch13.pdf.

Vi har fået besked på ikke at må bruge den ligning du henviser til. Og da der står "vis" i opgaven, hvordan skal jeg så vise P1(T1=n)? eller er det nok at forklare det du skriver?

Mht. formlen for \(P_1(T_1 = n)\), så vil jeg mene, at den tekstforklaring jeg gav er tilstækkelig, evt. suppleret med en tegning af Markovkæden. Du kan evt. tilføje, at sandsynlighederne mellem tilstandene er konstante.