Fag: Analyse 2

[studerende]

Hej.

Jeg sidder med denne opgave, som jeg er meget i tvivl om, hvordan den skal gribes an? Er der nogen der kan hjælpe med dette?

[number42]

\((Tf(x)) = -a x - \frac {a^2}{2} x^2 -\frac {a^{3}}{3} x^3- \frac {a^{4}}{4} x^4 \cdots\)

Bemærk \(\frac {d Log(1-a x)}{dx} = - \frac{a}{(1-a x)}\)

Resten af leddene er vist lette.

Bemærk også at alle leddene er negative for positive x så serien bliver mer og mer negativ. og altså mindre end negativ end det 4 led.

for negative x er hverandet led negativt men de positive er altid mindre.

Det generelle led i Taylor serien er \(=- \frac {a^n}{n} x^n\), du kan indsætte x = 1/(2 a) og x =- 1/(2a)

For den første bliver det \(- \frac {1}{2^n n }\) og for den anden \(- \frac {(-1)^n}{2^n n}\)

Summerer du fra n=5 til uendeligt bliver resultatet for den første 131/192- Log(2) = ca -0.01 ) og 77/192 - Log(3/2)= ca - 0,004 for den anden x værdi.
.

[studerende]

Kan det uddybes noget mere for del a) og b)?

[number42]

taylor serien (McLauren) er f(0) + f(0)' x + f(0)'' x^2/2! + f(0)''' x^3 /3!

Du skal finde Log(1-a x) for x=0 => Log(1) =0 ledded uden x er altså nul

Differentier: Log(1-a x)' = -a /(1+ a x) for x =0 bliver det - a og f(0)' x =-a c
Differentier -a /(1+ a x) det bliver -a^2/(1+a x) ^2 for x =0 bliver det f(0)'' x^2/2! = - a^2/2 x^2
og sådan går det videre

alle led er - a^n/n x^n

opgave b) er en afbrudt serie (T3 f) og det er umiddelbart at den gælder for alle \(x \in \mathbb {R}\) da der ikke skal undersøges om serien er konvergent.

hjalp det?

[studerende]

Ja, jeg har nu fået det til at give mening. Mange tak.
Men nu sidder og kan ikke helt forstå c)? Hvad skal jeg bruge de resultater til du har skrevet (altså det med -0,01 og -0,004)?
Skal man ikke bruge noget med noget vurdering af restled?

[number42]

\(f(x)- (T_{3}f)(x) = \sum_{n=4,\infty}{- a^n/n x^n }\)

Jeg summerede fra 5 til uendeligt
\(f(x)- (T_{3}f)(x) = \sum_{n=4,\infty}{- a^n/n x^n } = -a^4/4 x^4 + \sum_{n=5,\infty}{- a^n/n x^n }\)