Velkommen til Matematikcenter online forum
Opret dig som bruger og få gratis adgang til Danmarks eneste gratis matematikhjælp for alle.
Har du allerede en bruger? Log ind her.

Historisk matematik

Hedda123
Indlæg: 2
Tilmeldt: 06 dec 2018, 22:51

Historisk matematik

Indlægaf Hedda123 » 11 dec 2018, 16:52

Omkring år 1100 offentliggjorde Omar Khayyam formler for geometrisk fremfinding af reelle rødder i trediegradsligninger.

Formlerne kan samles og generaliseres til:

ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 (a≠0), neddivideres til en form, hvor a=+1
Så har vi x^3 + bx^2 + cx + d = 0
Vi skal bruge en ligning hvor c er positiv og d er ulig 0.
Hvis disse betingelser ikke er opfyldt må vi konstruere en ”erstatningsligning”, ved at erstatte alle x-erne med (x+n) hvor n er valgt således at betingelserne opfyldes.
Herved forskydes grafen for funktionen x^3 + bx^2 + cx + d vandret, men de indbyrdes forhold mellem rødderne beholdes.
(HUSK: Når realrødderne er fundet, skal man ”trække tilbage” til det oprindelige x)

Idet den ubekendte igen benævnes x, har vi nu funktionen
y = ax^3 +bx^2 +cx +d, hvor vi ved at a = + 1, c > 0 og d ≠ 0.

Så konstrueres en cirkel i et alm. koordinatsystem.
Cirklens ligning er y^2 = -x^2-(b+ d/c)x-b*d/c

(Cirklens diameter ligger på x-aksen, med skæringspunkter –d/c og –b)
Derpå konstrueres – i samme koordinatsystem – hyperblen
y=Kvadratroden af c + (d/kvadratroden af c)/x
Hyperblen har asymptoterne x=0 (altså y-aksen) og kvadratroden af c

Cirkelperiferien og hyperblen vil nu skære hinanden i punkter, hvis x-koordinater svarer til reelle rødder i trediegradsligningen x^3 + bx^2 + cx + d = 0
(samt i punktet x = – d/c, hvor y = 0).

Jeg har spekuleret over om der kan konstrueres lignende geometriske fremgangsmåder for fremfinding af reelle rødder i femtegradsligninger.
number42
Indlæg: 902
Tilmeldt: 10 mar 2017, 12:11

Re: Historisk matematik

Indlægaf number42 » 12 dec 2018, 20:41

Dejligt at se nogen der interesserer sig for historisk matematik.

Men jeg må tilstå at jeg kender ingen sådanne geometriske løsninger.

Der findes ingen algebraiske løsninger til den generelle femtegrads ligning , hvilket Niels Henrik Abel beviste. Han sendte opdagelsen til Friederich Gauss, som ikke gad svare på det. Omtrent samtidigt studerede Évariste Galois rødderne af polynomier og under hvilke betingelser det er muligt at udtrykke rødderne i radikaler og de fire regnearter.
number42
Indlæg: 902
Tilmeldt: 10 mar 2017, 12:11

Re: Historisk matematik

Indlægaf number42 » 12 dec 2018, 21:25

Jeg syntes det ville være interessant at tegne det, men opdager at det faktisk ikke altid virker (b kan for eks ikke være +3 i eksemplet.

Rødderne for f(x) er \(x \rightarrow 1, x \rightarrow 1-\sqrt{2} , x \rightarrow 1+\sqrt{2}\) punktet A er ikke en løsning.
Vedhæftede filer
grad lig.JPG
grad lig.JPG (78.32 KiB) Vist 1220 gange
Hedda123
Indlæg: 2
Tilmeldt: 06 dec 2018, 22:51

Re: Historisk matematik

Indlægaf Hedda123 » 10 jan 2019, 18:19

Nej A er ikke rod i den viste ligning. A er rod i den underliggende 4-grads ligning (som er en "vrangligning" - altså en hvor det er y, der skal findes). Jeg er ikke sikker på at dette kom med i min tekst her, men skal man bevise Omars løsning på moderne vis, kommer der altså en fjerdegradsligning vrangligning frem (den forsvinder senere igen senere). Hvis det har interesse, kan jeg da sende beviset.
Venlig hilsen Hedda Gottschalck mail lacerta@mail.dk
number42
Indlæg: 902
Tilmeldt: 10 mar 2017, 12:11

Re: Historisk matematik

Indlægaf number42 » 10 jan 2019, 18:33

Ja, det er jeg helt enig i.

Der er nok nogen der også intereserer sig for historisk matematik, så lad os bare få beviset også.
Og så var det oven i købet Omar som jo også er kendt for sine digte, her er et af mine favoritter

A Book of Verses underneath the Bough,
A Jug of Wine, a Loaf of Bread — and Thou
Beside me singing in the Wilderness —
Oh, Wilderness were Paradise enow!

Se https://en.m.wikiquote.org/wiki/Omar_Khayyám

Tilbage til "Matematik Plus"

Hvem er online

Brugere der læser dette forum: Ingen og 1 gæst