Side 2 af 2

Re: En funktion af 3 variable

: 26 feb 2020, 20:02
af number42
Cirklen med centrum i (0,0,-1) og radius 1/2 har ligningen
\(x^2+y^2+(z+1)^2 = 1/4\) vi skal jo ikke se længe på den og funktionen vi undersøger før
vi får lyst til at skrive den sådan \(-x^2-y^2 = (z+1)^2 -1/4\) og vi opdager også , hvis det ikke allerede er set at funktionen er rotations symmetrisk omkring z aksen og dermed kun afhænger af z.
Funktionen som kun ligger på kuglens rand kan således skrives\(f(z)= -z e^{z + 1 +(z+1)^2-1/4 } = -z e^{z^2+ 3z +7/4}\) lad være med at forveksle den med den oprindelige funktion.

Der er extrema i z =-1 og z= -1/2 som ligger r på kuglens rand, Men vi skal lige også se på punktet z= -3/2 som også ligger på kuglens rand.
Indsat i funktionen giver \(f(-1/2) = \sqrt{e}/2 = 0,824...\) og \(f(-3/2) = \frac{3}{2 \sqrt{e}} = 0,909...\) hvor f(-1/2) < f(-3/2) værdien for z =-1 er \(\frac{1}{ e^{1/4} } = 0,778...\).

inde i kuglen ligger det globale maximum som i øvrigt er på f(0,0,-1) = 1

Med restriktionen af kuglen er z= -1 et minimum og z= -3/2 det den største værdi, men ikke et maximum.
Det lettest at plotte f(z) for at se dette.

Værdimængden er i øvrigt \(x^2+y^2+(z+1)^2 \le 1/4\)