Velkommen til Matematikcenter online forum
Opret dig som bruger og få gratis adgang til Danmarks eneste gratis matematikhjælp for alle.
Har du allerede en bruger? Log ind her.

Maxwells ligninger

MC Smiley
Indlæg: 6
Tilmeldt: 07 okt 2019, 08:35

Maxwells ligninger

Indlægaf MC Smiley » 22 maj 2021, 18:43

Calculus er ikke min stærke side i matematik. Har prøvet at kigge på tidligere opgaver og lign., men har ikke kunne vikle mit hoved rundt om dette problem.
Er der en venlig sjæl, der kan hjælpe mig med at forstå og løse disse to opgaver, hhv. opg (v) og (vi)?
Vedhæftede filer
opg (v) og (vi).PNG
opg (v) og (vi).PNG (101.58 KiB) Vist 520 gange
Info om curl.PNG
Info om curl.PNG (53.46 KiB) Vist 520 gange
JensSkakN
Indlæg: 845
Tilmeldt: 17 mar 2020, 12:33

Re: Maxwells ligninger

Indlægaf JensSkakN » 23 maj 2021, 02:49

Hvis du har løst de første opgaver, burde du også kunne forstå disse løsninger, som er 'trivielle', men noget omstændelige.

Opgave (v)
\(curl(E_{osc})(x,t)=\left( \begin{array}{c} \frac{\partial \varepsilon_3\cos(\omega t-k_1 x_1-k_2 x_2-k_3 x_3)}{\partial x_2}-\frac{\partial \varepsilon_2 \cos(\omega t-k_1 x_1-k_2 x_2-k_3 x_3)}{\partial x_3}\\ \frac{\partial \varepsilon_1\cos(\omega t-k_1 x_1-k_2 x_2-k_3 x_3)}{\partial x_3}-\frac{\partial \varepsilon_3 \cos(\omega t-k_1 x_1-k_2 x_2-k_3 x_3)}{\partial x_1}\\ \frac{\partial \varepsilon_2\cos(\omega t-k_1 x_1-k_2 x_2-k_3 x_3)}{\partial x_1}-\frac{\partial \varepsilon_1 \cos(\omega t-k_1 x_1-k_2 x_2-k_3 x_3)}{\partial x_2} \end{array} \right)\)

Men da \(\frac{\partial \varepsilon_3\cos(\omega t-k_1 x_1-k_2 x_2-k_3 x_3)}{\partial x_2}={{\varepsilon_3}\cdot{(-k_2)}}\cdot{(-\sin(\omega t-k_1 x_1-k_2 x_2-k_3 x_3))}\,\,\), bliver

\(curl(E_{osc})(x,t)=\left( \begin{array}{c}{({\varepsilon_3}\cdot{k_2}-{\varepsilon_2}\cdot{k_3})}\cdot{\sin(\omega t-k_1 x_1-k_2 x_2-k_3 x_3)}\\{({\varepsilon_1}\cdot{k_3}-{\varepsilon_3}\cdot{k_1})}\cdot{\sin(\omega t-k_1 x_1-k_2 x_2-k_3 x_3)}\\{({\varepsilon_2}\cdot{k_1}-{\varepsilon_1}\cdot{k_2})}\cdot{\sin(\omega t-k_1 x_1-k_2 x_2-k_3 x_3)} \end{array} \right)={(k\times \varepsilon)}\cdot{\sin(\omega t-k \cdot x )}\)
Senest rettet af JensSkakN 23 maj 2021, 04:12, rettet i alt 1 gang.
JensSkakN
Indlæg: 845
Tilmeldt: 17 mar 2020, 12:33

Re: Maxwells ligninger

Indlægaf JensSkakN » 23 maj 2021, 04:02

Opgave (vi)
At \(div(E_{osc}(x,t))=0\)
følger af (iv), da \(k\cdot {\varepsilon}=0\)
At \(div(B_{osc}(x,t))=0\)
følger af \(\mathcal{B}\cdot k=0\)
Ifølge (v) er \(curl(E_{osc})(x,t)={k\times {\varepsilon}}\cdot {\sin(\omega t-k \cdot x)}\)
\(\frac{-\partial {B_{osc}}}{\partial t}={{\mathcal{B}}\cdot {\omega}}\cdot {\sin(\omega t-k \cdot x)}\)
Men \({\mathcal{B}}\cdot {\omega}={k\times {\varepsilon}}\)
Dermed er også den tredje Maxwell ligning opfyldt.

\(curl(B_{osc})(x,t)=k\times {\mathcal{B}} \sin(\omega t-k\cdot x)\)
Men \(k \times {\mathcal{B}}=\frac 1 {\omega}k \times {(k\times {\varepsilon})}=\frac {-|k|^2}{\omega}{\varepsilon}=\frac{-\omega ^2}{c^2\omega}{\varepsilon}=-\frac {\omega}{c^2}{\varepsilon}\)
og \(\frac{\partial E_{osc}}{\partial t}=-{\omega}\cdot {\varepsilon} \sin(\omega t-k\cdot x)\)

\(curl(B_{osc})(x,t)=\frac 1 {c^2}\frac{\partial E_{osc}}{\partial t}=\mu_0\epsilon_0 \frac{\partial E_{osc}}{\partial t}\)
Dermed er også den fjerde Maxwell ligning opfyldt.

Tilbage til "Hjernevridere"

Hvem er online

Brugere der læser dette forum: Ingen og 1 gæst