Velkommen til Matematikcenter online forum
Opret dig som bruger og få gratis adgang til Danmarks eneste gratis matematikhjælp for alle.
Har du allerede en bruger? Log ind her.

Beviser: primtal

Jess123
Indlæg: 166
Tilmeldt: 27 okt 2018, 14:07

Beviser: primtal

Indlæg af Jess123 »

Jeg har brug for hjælp til disse opgaver for at vide om mine svar er rigtige
Vedhæftede filer
Skærmbillede 2020-10-04 kl. 17.09.16.png
Skærmbillede 2020-10-04 kl. 17.09.16.png (37.79 KiB) Vist 10915 gange
JensSkakN
Indlæg: 1199
Tilmeldt: 17 mar 2020, 12:33

Re: Beviser: primtal

Indlæg af JensSkakN »

Det ville være noget bedre, hvis du viste dine svar, som vi så kunne kommentere.
Jeg ved ikke, om du må gå ud fra sætningen om entydig primtalsfaktorisering. Hvis du må det, vil jeg mene, at a) er indlysende, for i så fald er alle n's divisorer potenser af 2 og den har derfor ingen ulige primtalsdivisorer og derfor ingen andre ulige divisorer end +1 eller -1.
b) Eksponenterne i den sidste parentes til venstre for = kan skrives som
\(k(\,m-1)\,,k(\,m-2)\,,....,k(\,m-(\,m-1)\,)\,\)
Hvis \(m\) er ulige er der derfor et lige antal led, så der er lige mange med + som med \(-\), ud over det sidste 1-tal. Nu er det nemt at vise at leddene tager hinanden to og to og tilbage står resultatet.
d) Hvis \(r\) ikke er en potens af 2, kan \(2^r\) skrives som \(2^{pj}+1\), hvor \(p\) er et ulige primtal og \(j\) er et helt tal.
Med \(p=3\) som eksempel, gælder nu
\(2^{3j}+1={(\,2^j+1)\,}\cdot{(\,2^{2j}-2^j+1)\,}\). Derfor kan \(2^{3j}+1\) ikke være et primtal. Beviset kan nemt udvides til ethvert ulige primtal.
Senest rettet af JensSkakN 05 okt 2020, 00:09, rettet i alt 1 gang.
Jess123
Indlæg: 166
Tilmeldt: 27 okt 2018, 14:07

Re: Beviser: primtal

Indlæg af Jess123 »

i a) har jeg skrevet dette. Kan du vise udregningen i b)
Vedhæftede filer
Skærmbillede 2020-10-04 kl. 19.21.39.png
Skærmbillede 2020-10-04 kl. 19.21.39.png (32.79 KiB) Vist 10906 gange
JensSkakN
Indlæg: 1199
Tilmeldt: 17 mar 2020, 12:33

Re: Beviser: primtal

Indlæg af JensSkakN »

Du skriver 'ikke andre tal end 2, der op'
Det skal være 'ikke andre primtal end 2, der går op'
Bemærk, at både 4, 8 , 16 osv. går op i 128.
Du bør slutte med: 'Herved ses, at de eneste ulige tal, der går op er \(\pm 1\)'
Senest rettet af JensSkakN 04 okt 2020, 22:34, rettet i alt 1 gang.
JensSkakN
Indlæg: 1199
Tilmeldt: 17 mar 2020, 12:33

Re: Beviser: primtal

Indlæg af JensSkakN »

Udregningerne i b)
\((\,2^k+1)\,(\,2^{km-k}-2^{km-2k}+2^{km-3k}-2^{km-4k}+.....-2^k+1)\,=\)
\(\,\,\,\,2^{km}+2^{km-k}-2^{km-k}-2^{km-2k}+2^{km-2k}+2^{km-3k}-2^{km-3k}+....-2^{2k}-2^k+2^k+1=\)
\(\,\,\,\,2^{km}+1\)

Jeg opdagede lige en fejl, som nu er rettet.
Senest rettet af JensSkakN 05 okt 2020, 00:05, rettet i alt 1 gang.
Jess123
Indlæg: 166
Tilmeldt: 27 okt 2018, 14:07

Re: Beviser: primtal

Indlæg af Jess123 »

Mange tak. Kan du uddybe opgave d)
JensSkakN
Indlæg: 1199
Tilmeldt: 17 mar 2020, 12:33

Re: Beviser: primtal

Indlæg af JensSkakN »

Ja, det jeg har skrevet er i hvert noget sludder. Undskyld. Jeg vender lige tilbage om lidt.
JensSkakN
Indlæg: 1199
Tilmeldt: 17 mar 2020, 12:33

Re: Beviser: primtal

Indlæg af JensSkakN »

Hvis n indeholder ulige primfaktorer, kan vi ifølge b) faktorisere \(2^n+1\), og så er dette tal ikke et primtal.
Altså hvis \(2^n+1\) er et primtal, må n kun have lige primfaktorer. Men der er kun 1 lige primtal, nemlig 2. Altså er \(n=2^r\)
Senest rettet af JensSkakN 05 okt 2020, 14:05, rettet i alt 2 gange.
Jess123
Indlæg: 166
Tilmeldt: 27 okt 2018, 14:07

Re: Beviser: primtal

Indlæg af Jess123 »

Kan du vise, hvordan du vil faktoriserer 2^n - 1? Og hvilken antagelse har du? Min lærer vil nemlig gerne have, at vi skal lave en antagelse i begyndelsen af beviset og forklare, hvilken form for bevis vi arbejder med dvs. (kontraposition, direkte bevis osv.)
Senest rettet af Jess123 05 okt 2020, 11:25, rettet i alt 1 gang.
Jess123
Indlæg: 166
Tilmeldt: 27 okt 2018, 14:07

Re: Beviser: primtal

Indlæg af Jess123 »

Desuden er der givet et hint til beviset i d)
Vedhæftede filer
C87CEF35-24D9-4DB2-88D5-9E217B43F8A0.jpeg
C87CEF35-24D9-4DB2-88D5-9E217B43F8A0.jpeg (381.61 KiB) Vist 10881 gange
Besvar