Velkommen til Matematikcenter online forum
Opret dig som bruger og få gratis adgang til Danmarks eneste gratis matematikhjælp for alle.
Har du allerede en bruger? Log ind her.

Grænseværdier

Jess123
Indlæg: 166
Tilmeldt: 27 okt 2018, 14:07

Grænseværdier

Indlægaf Jess123 » 18 sep 2020, 19:42

Hvordan finder jeg grænseværdien for pi^- ?

Jeg har skrevet følgende. Er det korrekt og er det fyldestgørende? Hvad kan jeg eventuelt skrive?

Grænseværdien for f(x) gående mod 0^+ for x er lig 0, hvilket passer med Maples resultat.

Vi finder lim┬(x→π^- )⁡〖f(x)〗 uden brug af Maple. Grænseværdien for f(x) gående mod π^- for x er lig ∞, fordi det ene led 2/x går mod en konstant, mens det andet led -(2·cos⁡(x))/sin⁡(x) går mod uendelig, hvilket passer med Maples resultat. Uanset hvilket tal man sætter ind på tællerens plads, vil man få et positivt tal og dermed vil hele leddet gå mod plus uendelig, fordi tælleren er -2·cos⁡(x).
Vedhæftede filer
Skærmbillede 2020-09-18 kl. 19.40.58.png
Skærmbillede 2020-09-18 kl. 19.40.58.png (23.25 KiB) Vist 2450 gange
ringstedLC
Indlæg: 483
Tilmeldt: 22 okt 2017, 18:05

Re: Grænseværdier

Indlægaf ringstedLC » 18 sep 2020, 20:37

Jess123 skrev:Hvordan finder jeg grænseværdien for pi^- ?

Grænseværdien for f(x) gående mod π^- for x er lig ∞

Det er x, der går mod \(\pi^{-}\), ikke f(x).

Jess123 skrev:Uanset hvilket tal man sætter ind på tællerens plads, vil man få et positivt tal...

Nej, men for \(x\rightarrow \pi^{-}\) går tælleren mod -2 og nævneren mod 0.
Hele leddet går derfor mod \(\infty\).
Jess123
Indlæg: 166
Tilmeldt: 27 okt 2018, 14:07

Re: Grænseværdier

Indlægaf Jess123 » 18 sep 2020, 20:47

Er dette svar fyldestgørende

Vi finder lim┬(x→π^- )⁡〖f(x)〗 uden brug af Maple. Grænseværdien for f(x) gående mod π^- for x er lig ∞, fordi det ene led 2/x går mod en konstant, mens det andet led -(2·cos⁡(x))/sin⁡(x) går mod uendelig. For x→π− går tælleren mod -2 og nævneren mod 0. Hele leddet går derfor mod uendelig, hvilket er i overensstemmelse med maples resultat.
JensSkakN
Indlæg: 844
Tilmeldt: 17 mar 2020, 12:33

Re: Grænseværdier

Indlægaf JensSkakN » 18 sep 2020, 23:17

Du mangler lige at tilføje, at nævneren er positiv, da det er afgørende.
Det undrer mig, at man taler om en grænseværdi på \(\infty\), selvom Maple gør det. Efter min opfattelse siger man, at der i så fald ikke er nogen grænseværdi.
Du har ikke vist, at den anden grænseværdi er 0, hvad den helt korrekt er. Min umiddelbare tanke er, at det kræver, at man rækkeudvikler \(\cos x\)
Jess123
Indlæg: 166
Tilmeldt: 27 okt 2018, 14:07

Re: Grænseværdier

Indlægaf Jess123 » 19 sep 2020, 07:08

Hvilken nævner er det, der er positiv og hvordan hænger det sammen med at grænseværdien er uendelig?
Jess123
Indlæg: 166
Tilmeldt: 27 okt 2018, 14:07

Re: Grænseværdier

Indlægaf Jess123 » 19 sep 2020, 07:52

Hvordan kan man argumentere på en ordentlig måde at grænseværdien er uendelig
JensSkakN
Indlæg: 844
Tilmeldt: 17 mar 2020, 12:33

Re: Grænseværdier

Indlægaf JensSkakN » 19 sep 2020, 12:02

Du skriver
for \(x\to \pi^-\) går tælleren mod \(-2\) og nævneren mod 0.
Det er denne nævner, der er positiv. Du kan skrive
for \(x\to \pi^-\) går tælleren mod \(-2\) og nævneren mod \(0^+\).
Jess123
Indlæg: 166
Tilmeldt: 27 okt 2018, 14:07

Re: Grænseværdier

Indlægaf Jess123 » 19 sep 2020, 12:10

Hvad med nu
Vedhæftede filer
Skærmbillede 2020-09-19 kl. 12.10.07.png
Skærmbillede 2020-09-19 kl. 12.10.07.png (22.28 KiB) Vist 2423 gange
JensSkakN
Indlæg: 844
Tilmeldt: 17 mar 2020, 12:33

Re: Grænseværdier

Indlægaf JensSkakN » 19 sep 2020, 12:31

Det er også fint. Bemærk dog, at du bedes om først at bruge Maple og derefter gøre det uden Maple.
JensSkakN
Indlæg: 844
Tilmeldt: 17 mar 2020, 12:33

Re: Grænseværdier

Indlægaf JensSkakN » 19 sep 2020, 13:19

Du mangler at vise, uden Maple, at \(\lim\limits_{x\to 0^+}f(\,x)\,=0\).
Det er lidt vanskeligere, men jeg har følgende forslag
Der gælder, at for \(x>\,0\)
\(\tan\,x>\,x\Leftrightarrow \frac{1}{x}>\frac{1}{\tan\,x}=\frac{\cos\,x}{\sin\,x}\Leftrightarrow f(\,x)\,>\,0\)
Men desuden gælder, at \(\cos(\,x)\,>1-\frac{x^2}{2}\), så
\(f(\,x)\,=\frac{2}{\sin\,x}\cdot \frac{sin\,x}{x}-\frac{2 \cos\,x}{\sin\,x} < \frac{2(\,\frac{\sin\,x}{x}-1+\frac{x^2}{2})\,}{\sin\,x}<x\cdot \frac{x}{sin\,x}\implies \lim\limits_{x\to 0^+}f(\,x)\,\leq 0\cdot 1 =0\)
Tilsammen giver disse to uligheder, at \(\lim\limits_{x\to 0^+}f(\,x)\,=0\)

Tilbage til "Fra gymnasial uddannelse til universitet"

Hvem er online

Brugere der læser dette forum: Ingen og 1 gæst