Velkommen til Matematikcenter online forum
Opret dig som bruger og få gratis adgang til Danmarks eneste gratis matematikhjælp for alle.
Har du allerede en bruger? Log ind her.

Grænseværdier

Jess123
Indlæg: 166
Tilmeldt: 27 okt 2018, 14:07

Grænseværdier

Indlægaf Jess123 » 12 sep 2020, 19:13

Jeg har brug for hjælp til b). Er i tvivl om mit svar er rigtigt. Jeg har svaret følgende:

Vi differentierer f(x) vha. CAS-værktøjet Wordmat:
f(x)=(3x^2-x-2)/(3x^2+12x+9)

Udtrykket differentieres vha. CAS-værktøjet WordMat.
(22·x+13·x^2+5)·(72·x+3·x^4+24·x^3+66·x^2+27)^(-1)=(22·x+13·x^2+5)·(72·x+3·x^4+24·x^3+66·x^2+27)^(-1)

Jeg har reduceret f´(x) vha. Maple og fået følgende

((13·x^2+ 22·x + 5).(1/((x+ 3)^2·(x + 1)^2 )))/3

f´(x) er positiv for alle x∈[0,∞┤[, da brøken har samme fortegn i både tæller og nævner. Man kan også vise det ved at tegne grafen for f´(x).

Jeg har tegnet grafen vha. Geogebra. På grafen kan vi se, at for alle x∈[0,∞┤[ er f´(x) positiv, fordi den har positive funktionsværdier i det interval.
Vedhæftede filer
Skærmbillede 2020-09-12 kl. 19.11.46.png
Skærmbillede 2020-09-12 kl. 19.11.46.png (51.54 KiB) Vist 2409 gange
JensSkakN
Indlæg: 844
Tilmeldt: 17 mar 2020, 12:33

Re: Grænseværdier

Indlægaf JensSkakN » 12 sep 2020, 20:50

Det undrer mig lidt, at du blander wordmat og Geogebra ind i det, når det hele kan klares i Maple.
Dit reducerede udtryk for \(f'(\,x)\,\) er korrekt, men din argumentation er ikke helt i orden.
Du kan jo ikke lave en graf der går helt til uendelig og du kan heller ikke være sikker på, at der ikke er et sted mellem to prikker, hvor grafen i virkeligheden dykker ned og bliver negativ, uden at du ser det.
Så din argumentation skal være mere stringent.
Nævneren er et polynomium som er positiv for alle x i definitionsmængden. Hvis vi udvider DM til alle reelle tal, er den 0 for \(x=-1\) og for \(x=-3\). På samme måde kan du finde rødderne for tælleren og indse, at de begge er negative, og derfor er polynomiet positivt i hele DM. Derfor er \(f'(\,x)\,\gt 0\) for alle \(x \gt 0\).
Jess123
Indlæg: 166
Tilmeldt: 27 okt 2018, 14:07

Re: Grænseværdier

Indlægaf Jess123 » 12 sep 2020, 21:32

Hvordan har du fundet ud af, at x =-1 og x=-3
ringstedLC
Indlæg: 483
Tilmeldt: 22 okt 2017, 18:05

Re: Grænseværdier

Indlægaf ringstedLC » 12 sep 2020, 22:49

Jess123 skrev:Hvordan har du fundet ud af, at x =-1 og x=-3

Sikkert ved brug af nulreglen:
\(0=\left(x + 1 \right)^{2}\left(x + 3 \right)^{2}
\Rightarrow 0=\left(x + 1 \right)^{2}\vee 0=\left(x + 3\right)^{2}\)


Din reduktion er ikke helt færdiggjort:

\(f'(x)=\frac{(13x^{2} + 22x + 5)\cdot \frac{1}{\left(x + 1 \right)^{2}\left(x + 3 \right)^{2}}}{3} \\
f'(x)=\frac{13x^{2} + 22x + 5}{3\,\cdot \,\left(x + 1 \right)^{2}\left(x + 3 \right)^{2}}\;,\;x\in\left[0;\infty\right]\)


Ved vis at ... mener jeg, at du skal beregne:
\(f'(x)>0 \\
0<\frac{13x^{2} + 22x + 5}{3\,\cdot \,\left(x + 1 \right)^{2}\;\left(x + 3 \right)^{2}} \\
0<13x^{2} + 22x + 5\;,\;3\cdot \left(x + 1 \right)^{2}\left(x + 3 \right)^{2}>0 \\
0<13x^{2} + 22x + 5\Rightarrow f'(x)>0 \\
f'(x)>0\Rightarrow x\geq 0\text{ med GG's CAS}\)
JensSkakN
Indlæg: 844
Tilmeldt: 17 mar 2020, 12:33

Re: Grænseværdier

Indlægaf JensSkakN » 13 sep 2020, 00:54

Jeg er enig i, at man skulle bruge nulreglen, når man ser på nævneren.
Tælleren, \(13x^2+22x+5\), er et andengradspolynomium, der er positivt uden for rødderne.
Da begge rødder er negative, er det positivt i definitionsmængden.
Altså er \(f'(\,x)\, \gt 0\) i hele definitionsmængden.
Den sidste påstand, om at \(f'(\,x)\, \gt 0 \implies x\ge 0\) er forkert (hvis man da ser bort fra definitionsm.), men heldigvis også overflødig.
Jess123
Indlæg: 166
Tilmeldt: 27 okt 2018, 14:07

Re: Grænseværdier

Indlægaf Jess123 » 13 sep 2020, 08:03

Så det jeg skal gøre er at beregne rødderne for tælleren og derefter for nævneren. Når jeg viser, at begge rødder er negative, så er f’(x) positiv i hele definitionsmængden. Dermed er f’(x) > 0. Er der mere jeg skal skrive eller er det nok?
Jess123
Indlæg: 166
Tilmeldt: 27 okt 2018, 14:07

Re: Grænseværdier

Indlægaf Jess123 » 13 sep 2020, 09:12

Jeg har formuleret det sådan her
Vedhæftede filer
Skærmbillede 2020-09-13 kl. 09.12.01.png
Skærmbillede 2020-09-13 kl. 09.12.01.png (6.66 KiB) Vist 2388 gange
JensSkakN
Indlæg: 844
Tilmeldt: 17 mar 2020, 12:33

Re: Grænseværdier

Indlægaf JensSkakN » 13 sep 2020, 12:14

Jeg kan ikke finde ud af at se den vedhæftede fil, men det du skriver, lyder helt korrekt.
GeraldN
Indlæg: 7
Tilmeldt: 10 sep 2020, 22:05

Re: Grænseværdier

Indlægaf GeraldN » 13 sep 2020, 13:37

Lige en ting, som gør det lidt nemmere: Det er slet ikke nødvendigt at beregne rødderne for polynomiet i nævneren, da ligningen er en brøk lig med 0.
Hvis man ganger begge sider af lighedstegnet med nævneren, ganger man jo nævneren på højre side med 0, og nævneren går derved ud.

En detalje, som er vigtigt at få rettet her, er at intervaller er altid åbne mod uendelig: x ∈ [0, ∞[
For vi vil aldrig kunne bestemme værdien for uendelig.
Jess123
Indlæg: 166
Tilmeldt: 27 okt 2018, 14:07

Re: Grænseværdier

Indlægaf Jess123 » 13 sep 2020, 14:07

Jeg har skrevet følgende:

Vi differentierer f(x) vha. CAS-værktøjet Wordmat:
f(x)=(3x^2-x-2)/(3x^2+12x+9)
Udtrykket differentieres vha. CAS-værktøjet WordMat.
(22·x+13·x^2+5)·(72·x+3·x^4+24·x^3+66·x^2+27)^(-1)=(22·x+13·x^2+5)·(72·x+3·x^4+24·x^3+66·x^2+27)^(-1)

Vi finder rødderne for f´(x)
(22·x+13·x^2+5)·(72·x+3·x^4+24·x^3+66·x^2+27)^(-1)=0
⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
x=-1,421793444 ∨ x=-0,270514248189

Da rødderne for f´(x) er negativ, er f´(x) positiv i definitionsmængden [0,∞]. Altså er f´(x)>0 for alle x > 0 i hele definitionsmængden.

Tilbage til "Fra gymnasial uddannelse til universitet"

Hvem er online

Brugere der læser dette forum: Ingen og 1 gæst