Monotoniforhold

[Rosa]

Hej!
Nu har jeg siddet med denne opgave i lang tid.. Men jeg kan ikke finde ud af at løse, på trods af alt den tid jeg har brugt!

Opgaven er vedhæftet

[ringstedLC]

Du må lige skrive noget om, hvad du ikke kan finde ud af.

[Rosa]

Forstår ikke selve spørgsmålet:(

Jeg ved vi har en funktion: f(x)= x^3 - 3x^2 - 13x + 15

Hvordan finder jeg monotoniforholdet på denne funktion?

[ringstedLC]

Nu er jeg lidt forvirret efter at have bemærket, at dit spørgsmål ligger i C-kategorien.
Har du lært om differentialregning og monotoniforhold på C niveau?
Eller skulle du have sat dit spørgsmål ind i "A" eller "B"?

Vi må lige vide, hvor du er i din uddannelse.

[Rosa]

Jeg går på 1. HF og har matematik på c-niveau.

Jeg har ikke helt styr på de to emner

[ringstedLC]

OK.
Monotoniforhold bruges til at undersøge om en funktion stiger eller falder i et eller flere intervaller.
Maksimum- og minimumværdier hører også med til disse forhold.
Teknikken er, at man undersøger hældningen som du har gjort med rette linjer (+ a eller - a),
men nu skal du også kunne undersøge kurvede funktioner.
Når du har funktionen og skal finde monotoniforholdene, skal du starte med at differentiere den.
At differentiere en funktion vil sige at beregne en hældningsfunktion.
Når du har en ret linje, ex: \(y=3x+5\) så bliver \(y'=3\) fordi hældningen af y er tre (SE TEGNING).
Det ses nemt, når linjen tegnes. Men når vi har et 3. gradspolynomium som her, er det ikke ligetil.
For hvad er hældningen af en kurve som: \(f(x)=x^3-3x^2-13x+15\), ja det kommer jo an på, hvor vi aflæser den.
Så man laver en funktion \(f'\), der giver et entydigt svar på basis af x-værdien.
\(f'(x)=\;?\) (PRØV SELV eller se nedenfor)
\(f'\) er altså en funktion, der viser hældningen af \(f\), afhængigt af x-værdien.

_001_Rosa - Monotoniforhold.png (121.81 KiB) Vist 8285 gange

Der hvor \(f'\) har værdien nul (skæring med x-aksen), har du x-værdien for ekstrema for \(f\),
altså der hvor \(f\) skifter imellem at stige og falde (følg den stiplede linje op eller ned til skæring med \(f\)).
Du beregner værdierne ved at indsætte forskriften for \(f'\) i:
\(f'(x)=0\)
\(x=\;?\)
Nu har du fundet den (de) x-værdier, hvor \(f\) har ekstremum.
Sæt værdier(ne) ind i dit sildeben, alle steder hvor der står \(Ekstr_{x1}\) og \(Ekstr_{x2}\).
(lav selv et lignende skema i Word eller hvad du arbejder med. HUSK: Gem også en kladde til nye opgaver).

_001_Rosa - Monotoniforhold, sildeben.png (4.67 KiB) Vist 8285 gange

Du skal selv udfylde alle felter, undtagen første kolonne og de to nuller .
Da et ekstremum er et punkt \((x,y)\), indsættes værdien i \(f\) for at få en y-værdi.
\(f(Ekstr_{x1})=Ekstr_{y1}=\;?\)
\(f(Ekstr_{x2})=Ekstr_{y2}=\;?\) osv.
Uden tegningen ville du nu bare vide, at \(f\) vender to gange, fordi der er to ekstrema.
Altså er der tre intervaller, der skal undersøges.
Nu indsætter man en x-værdi, der er mindre end \(Ekstr_{x1}\) i \(f'\)
\(f'(x<Ekstr_{x1})=\;?\)
Hvis \(f'(x<Ekstr_{x1})>0\) er\(f\) stigende (angives i sildebenet).
Hvis \(f'(x<Ekstr_{x1})<0\) er\(f\) faldende.
Så indsætter man en x-værdi, der ligger imellem \(Ekstr_{x1}\) og \(Ekstr_{x2}\) i \(f'\)
\(f'(Ekstr_{x1}<x<Ekstr_{x2})=\;?\)
Resultatet evalueres som ovenfor (angives i sildebenet).
Og tilsidst indsætter man en x-værdi, der er større end \(Ekstr_{x2}\) i \(f'\)
\(f'(x>Ekstr_{x2})=\;?\)
Resultatet evalueres som ovenfor (angives i sildebenet).
Nu skal dit sildeben være udfyldt og opgaven er besvaret.

Differentation:
Generelt: \(f(x)=ax^n\Leftrightarrow f'(x)=anx^{n-1}\)
\(f(x)=\;\)\(x^3\;\)\(-3x^2\;\)\(-13x\;\)\(+15\)
\(g(x)=\;\)\(x^3\;\)\(\Leftrightarrow g'(x)=3x^{(3-1)}\Leftrightarrow g'(x)=3x^2\;\)
\(h(x)=\;\)\(-3x^2\;\)\(\Leftrightarrow h'(x)=-3\cdot2x^{(2-1)}\Leftrightarrow h'(x)=-6x^1\Leftrightarrow h'(x)=-6x\)
\(k(x)=\;\)\(-13x\;\)\(\Leftrightarrow k(x)=-13x^1\Leftrightarrow k'(x)=-13x^{(1-1)}\Leftrightarrow k'(x)=-13^0\Leftrightarrow k'(x)=-13\)
\(l(x)=\;\)\(+15\;\)\(\Leftrightarrow l'(x)=0\) (en konstant er en vandret linje med hældningen nul).
Derfor får du:
\(f'(x)=\;\)\(3x^2\;\)\(-6x\;\)\(-13\)

[Rosa]

Puha nu er jeg helt forvirret :((

i sildebenet, vil du have jeg skal skrive i de to felter hvor det er blåt ? altså således :

[number42]

Du skal have hele informationen med. x værdierne for ekstrema og f'(x) i anden række (du har f(x) i både række to og tre).
for eksempel Ekstr x1 : -1,3 og Ekstr x2 : 3,3

Ekstr y1 skal modsvare x1 værdien så EkstrY1 : 24,63 og Ekstry2 : -24,63

I kolonne 2 kan du bare skrive x< -1,3 og ligeledes kolonne 4 og kolonne 6 for de værrdier der skal bruges der.

Hvor i alverden får du de tal du har fra?

Derpå skal du angive om f'(x) er positiv eller negativ i de intervaller der er angivet i første række af din tabel (sildeben), brug et PLUS eller et MINUS
Og i tredie række om f(x) er stigenden eller faldende

Se nu begnder det at give lidt mening.

Hvis du ikke kan lave de skrå pile i tredie række kan du fx skrive vokser eller falder.

[ringstedLC]

Tak for hjælpen number42