Velkommen til Matematikcenter online forum
Opret dig som bruger og få gratis adgang til Danmarks eneste gratis matematikhjælp for alle.
Har du allerede en bruger? Log ind her.

Cirkel, trigonometri og eksponentiel funktion

Jess123
Indlæg: 166
Tilmeldt: 27 okt 2018, 14:07

Cirkel, trigonometri og eksponentiel funktion

Indlæg af Jess123 »

Opgave 1
I et koordinatsystem er en cirkel C givet ved

(x-5)^2+(y-7)^2=100

a) Angiv cirklens centrumskoordinater samt radius.
Cirklens centrumkoordinater aflæses til at være (5,7). Radius er 10, da √100=10.

I samme koordinsatsystem er desuden en linje m givet ved
m: 3x-4y-487=0 .

B) Gør rede for, at m ikke skærer c.
Vi starter med at beregne afstanden fra linjen m til c vha. afstandsformlen:

dist(C,m)=|ax_0+by_0+c|/√(a^2+b^2 )=|3·5-4·7-487|/√(3^2+(-4)^2 )=100

Da afstanden fra centrum til linjen er større end radius, skærer m ikke c.

C) Bestem afstanden fra cirklens centrum til linjen m.

Jeg forstår ikke c). Har jeg ikke allerede svaret på det spørgsmål i b)?

Opgave 2
To skrive A og B sejler med konstant hastighed parallelt med en kystlinje l. A sejler i afstanden 1700 meter fra l, mens B sejler i afstanden 1200 meter fra l. Klokken 12.00 er vinklen v mellem sejlretningen for A og sigtelinjen fra A til et fyrtårn F lig med 32°, mens det for B gælder, at den tilsvarende vinkel u er lig med 56°.

a) Beregn afstanden fra hvert af de to skibe til fyrtårnet.

Beregning af skibet A´s afstand til fyrtårnet:
Da det er en retvinklet trekant, kan vi finde vinkel A: 90-32=58°

Da vinkelsummen i en trekant altid er 180 grader, kan vi finde vinkel F:
180-90-58=32°

Derefter bruger vi sinusrelationerne til at finde afstanden AF:

AF=c·(sin⁡(G))/(sin⁡(F))=1700·sin⁡(90)/sin⁡(32) ≈3208,03585516

Afstanden fra skibet A til fyrtårnet er 3208,04 m.

Beregning af skibet B´s afstand til fyrtårnet:

Da det er en retvinklet trekant, kan vi finde vinkel B: 90-56=34°

Da vinkelsummen i en trekant altid er 180 grader, kan vi finde vinkel F:
180-90-34=56°

Derefter bruger vi sinusrelationerne til at finde afstanden BF:

BF=c·sin⁡(C)/sin⁡(B) =1200·sin⁡(90)/sin⁡(56) ≈1447,4615382

Afstanden fra skibet B til fyrtårnet er 1447,5 m.

b) Beregn afstanden mellem skibene.
Vi bruger phytagoras´ læresætning:

√(AF^2+BF^2 )=√(〖3208,04〗^2+〖1447,5〗^2 )≈3519,48531629

Afstanden mellem skibene er 3519,5 m.

Et halvt minut senere er v=36° og u=61°.
c) Beregn det tidspunkt, hvor de to skibe passerer hinanden. (Jeg forstår ikke dette spørgsmål

Opgave 3

Antallet af frøer i et bestemt område vokser med 1,14 % hvert år. I år 2010 viste en optælling, at der var 483 frøer i området.

a) Bestem, hvor mange frøer der er i området efter 4 år.
Vi starter med at beregne fremskrivningsfaktoren a vha. formlen:
a=1+r=1+1,14%=1+0,0114=1,0114
Nu kan vi sætte vores a-værdi ind i funktionen, og dermed beregne, hvor mange frøer, der vil være i området efter 4 år ved at sætte 4 ind på x´s plads i funktionen:

y=483·〖1,0114〗^4
y=505,404294581

Efter 4 år vil der være 505,4 frøer i området.

b) Indfør passende betegnelser, og opskriv et matematisk udtryk, der beskriver hvor mange frøer der vil være i området efter et givet antal år. (Skal jeg ikke bruge dette spørgsmål til at svare på a)? behøver jeg så at svare på det?

c) Bestem, hvor mange år der går, før antallet af frøer i området overstiger 750.
Vi sætter 750 ind på y´s plads i ligningen:

750=483·〖1,0114〗^x
x=38,8210645954

Der vil gå 38,82 år før antallet af frøer i området overstiger 750.

Bestem fordoblingstiden for bestanden af frøer i området.
Vi sætter vores a-værdi ind i formlen for fordoblingskonstanten:

T_2=log⁡(2)/log⁡(a) =T_2=log⁡(2)/log⁡(1,0114)
T_2=61,1483030866

Fordoblingstiden for bestanden af frøer i området er 61,15. Det betyder, at det vil tage 61,15 år for at bestanden af frøer i området fordobles.
number42
Indlæg: 1389
Tilmeldt: 10 mar 2017, 12:11

Re: Cirkel, trigonometri og eksponentiel funktion

Indlæg af number42 »

en opgave ad gangen:
1 c) det kan man sige at du har beregnet hvis du har løst opgaven som indikeret.
number42
Indlæg: 1389
Tilmeldt: 10 mar 2017, 12:11

Re: Cirkel, trigonometri og eksponentiel funktion

Indlæg af number42 »

Opgave 2 a)
Hvorfor så besværligt ? afstanden AF er 1700/ cos(58) og BF = 1200/ cos(32) (rettet fra 34)
b)
Jeg har ikke forstået hvad det er du gør med pyhagoras. Hvilket retvinklet trekant?
Der er også som jeg forstår det to løsninger på dette. og AB = 1936 eller AB= 3523 (Beregnet med geogebra)

c) du skal beregne positionen af A og B med de nye vinkler v og u og på et halvt minut har A og B skib så bevæget sig den afstand som er afstanden fra de første positioner til de andre. og der er yderigere to muligheder, at skibene sejler mod hinanden eller i samme retning.
Vedhæftede filer
skibe.JPG
skibe.JPG (29.98 KiB) Vist 6029 gange
Senest rettet af number42 08 feb 2019, 18:59, rettet i alt 1 gang.
number42
Indlæg: 1389
Tilmeldt: 10 mar 2017, 12:11

Re: Cirkel, trigonometri og eksponentiel funktion

Indlæg af number42 »

Opgave 3 b)

Du skal skrive en rigtig formel y = b a^x og forklare hvad y, x, a og b er.

Og en anden gang lav venligst et opslag for hver opgave ellers bliver det så svært at håndtere.
number42
Indlæg: 1389
Tilmeldt: 10 mar 2017, 12:11

Re: Cirkel, trigonometri og eksponentiel funktion

Indlæg af number42 »

Jeg vil lige tegne de skibe igen og deres positioner.
Sejlretningen for begge skibe er mod venstre og vinklen måles mod uret, Afstand AB = 2020.87
Position A og A1 er den afstand A sejlede i et halvt minut ligeledes med B , skib A sejler hurtigere and B
Vedhæftede filer
Skibe2.JPG
Skibe2.JPG (42.23 KiB) Vist 6025 gange
number42
Indlæg: 1389
Tilmeldt: 10 mar 2017, 12:11

Re: Cirkel, trigonometri og eksponentiel funktion

Indlæg af number42 »

Her er den anden mulighed, skibene sejler mod hinanden, men vi må måle vinklen for B med uret og A imod uret.
Det er nok ikke korrekt at måle med uret, selv om jeg ingen anelse har om hvordan skibe måler pejle retninger, så måler matematikere vinkler imod uret, hvilket kun giver en mulighed, og det er ikke denne
Vedhæftede filer
skibe3.JPG
skibe3.JPG (46.33 KiB) Vist 6023 gange
Jess123
Indlæg: 166
Tilmeldt: 27 okt 2018, 14:07

Re: Cirkel, trigonometri og eksponentiel funktion

Indlæg af Jess123 »

Hvilken formel skal jeg bruge til at besvare 2. b og 2. c?
number42
Indlæg: 1389
Tilmeldt: 10 mar 2017, 12:11

Re: Cirkel, trigonometri og eksponentiel funktion

Indlæg af number42 »

Kald koordinaterne for A for (Ax,Ay) så er Ay = AF* Sin( A) og Ax = AF Cos(A)

Af den første findes AF da du kender Ay og af den anden finder du Ax

Gør det samme med B og find (Bx,By) og så find afstanden AB ud fra koordinaterne.
Jess123
Indlæg: 166
Tilmeldt: 27 okt 2018, 14:07

Re: Cirkel, trigonometri og eksponentiel funktion

Indlæg af Jess123 »

Jeg får a_x til b_x til at være 3530 og a_y til b_y til at være 1900. Ville det være de rigtige tal? Du har nemlig skrevet 3523 og 1936
number42
Indlæg: 1389
Tilmeldt: 10 mar 2017, 12:11

Re: Cirkel, trigonometri og eksponentiel funktion

Indlæg af number42 »

Jeg har bare brugt geogebra, den er ikke så nøjagtig.
Besvar