Bevis: Differentialkvotienten for andengradspolynomiet
: 17 maj 2021, 11:13
Jeg skal lave en lille video hvor jeg ræsonnerer hvad der foregår i det her bevis. Igen jeg erkender blankt matematik ikke er min stærke side, og differentialregning er nok igen en af de ting jeg har øvet mindst. Alternativet var analytisk geometri, og det følte jeg så endnu mindre for. Så nu må jeg se om jeg kan få det her til at give mening.
Jeg har prøvet at søge lidt rundt angående det her bevis, men har ikke rigtigt fundet specielt mange ressourcer, så tænkte det kunne være positivt at dele det her og få noget feedback, da det sikkert er nemt for jer kunne jeg forestille mig.
1. Jeg kan se andengradspolynomiumet bliver sat ind på f(x0+h)s plads, men jeg forstår ikke helt hvordan det bliver sat ind på den måde det gør det på?
Delta y er ligmed funktionen af x0 + h minus funktionen af x0.
Hvis jeg skal benytte den første regel i tretrinsreglen hvorfor ser det så sådan der ud? Hvorfor bliver det til a(x0+h)^2+b(x0+h), altså jeg kan godt se at vi indsætter x0+h på 'x's plads, men hvorfor gør vi det på den måde der? Delt op i flere x'er pga. andengradspolynomiet. Igen kan godt være jeg bare er uerfaren, og det er helt standard og normalt, men jeg har bare ikke erfaringen til at se det.
Det virker bare ikke intuitivt for mig at presse et helt andengradspolynomium ind på den måde der. Når jeg kigger på det kan jeg godt se en hvis logik og rytme, men jeg har bare lidt et missing link angående hvordan man kommer frem til at det skal presses ind på den måde der.
Så er vi så kommet til noget sammenlægning her. Der ser lidt rodet ud umiddelbart.
Det ligner at de ganger b ind med x0 og b ind med h for at opløse parentesen, også opløser de også den sidste parentes ved at ændre fortegnene da det er en minusparentes. Så skal jeg bare finde ud af hvad der sker i den første parentes. Der har de så lavet kvadratsætningen hvor (a+b)^2 bliver til a^2 + b^2 +2ab. Men 'a' bliver stadigt stående uden foran parentesen af en eller anden grund, selvom b'et i nummer 2 parentesen blev ganget ind i. Forvirrer mig lidt.
Så er det hele regnet ud, så skal det bare forkortes.
c går ud med hinanden, bx0 går ud med hinanden. bh bliver stående. Så er jeg ikke lige helt sikker på hvad der sker med det der -ax0^2, og den første parentes der... Synes virkeligt det er svært at følge med hvordan de lige rykker rundt på tingene der.
a(x0^2+h^2+2x0h)+bh-ax+^2
Jeg har prøvet at bruge wordmat for at skabe et overblik for ikke at blive skeløjet.
Så først der ganger de 'a' ind i parentesen? Også går ax0^2 ud med hinanden, også har vi forkortet det ligesom i beviset.
Nå hvad sker der så her... De vælger at faktorerer det så h står uden for parentes... okay.
Så går vi så videre til trin 2. Hvor delta y skal divideres med h. Vi har fra trin 1 regnet ud hvad vores delta y er, så det putter vi egentligt bare ind i formlen og dividerer med h. Så går h ud med hinanden på begge sider af lighedstegnet, så stemmer det.
Igen kommer der sådan en lidt kryptisk formulering når man ikke er trænet i det. Hvordan ved jeg at ah går mod 0, og hvad betyder det for "h gående mod 0".
Okay så et led går mod 0 af en grund fordi det har 'h' i sig, og det har de andre ikke så de ændrer sig ikke. Hvad betyder det at "grænseværdien" eksisterer?
Ved ikke hvad lim betyder, men de viser at h går mod 0, også får vi lige delta y delt med h, som var vores trin 2 som er vores differenskvotient, også kaldet sekanthældningen.
Igen er ikke sikker på hvorfor der bare bliver konkluderet at noget er differentiabelt i x0 og noget andet ikke er.
Så skal jeg så prøve at tyde det der...
Så trin 3 handler om at finde grænseværdien, også kaldt differentialkvotienten.. det gøres ved at lade h gå mod 0. Ja...
Så f mærke af x0 er ligmed at lade h gå mod 0, som så er lig med det vi kom frem til som var (2ax0+b+ah), men vi fjerner så ah fordi det indebærer h og går mod 0 og det gør de andre ikke også er det endelige resultat og bevis at det ender på 2ax0+b, hvilket er det samme som sætningen beskriver at et andengradspolynomium bliver differenteret med?