Bestem andengradspolynomium forskrift

[mc0306]

Jeg forstår ikke rigtig hvordan man bestemmer forskriften for andengradspolynomium ud fra de her tre punkter: f(0) = -12, f(3) = 0 og f(-2) = 0. Jeg ved toppunktet (0,-12) samt røddernes koordinater, plus b=0, c=-12 og a>0, men jeg forstår virkelig ikke hvordan jeg skal bestemme forskriften ud fra dette. Stor tak på forhånd.

[JensSkakN]

Dit toppunkt er forkert. Og \(b \neq 0\).
Det må gælde, at \(p(\,x)\,=a \cdot{(\,x-3)\,(\,x+2)\,}\)
Derefter indses, at \(a=2\)

[ringstedLC]

Velkommen på webmatematik.dk

Nogle af dine antagelser er forkerte:
- Toppunktet ligger kun på y-aksen, hvis b = 0, jævnfør toppunktsformlen.
Og da ligger eventuelle rødder -, \(r_1\) og \(r_2\) symmetrisk om y-aksen, henholdsvis rod i \((0, 0)\).

Enten bruges (som i forrige svar) formel (82) i FS.:
\(\qquad\qquad p(x)=a\cdot (x-r_1)\cdot (x-r_2)\;,\;(r_1,r_2)=\;\text{er rødder} \\
\qquad\qquad f(x)=a\cdot (x-3)\cdot (x+2) \\
\quad f(0)=-12=a\cdot (0-3)\cdot (0+2) \\
\qquad\qquad\quad \;\;a=\frac{-12}{-3\,\cdot \,2}=2 \\
\qquad\qquad f(x)=2\cdot (x-3)\cdot (x+2) \\
\qquad\qquad\qquad =2x^2-2x-12\Rightarrow a=2\;,\;b=-2\;,\;c=-12\)

Ellers løses tre ligninger med tre ubekendte:
\(\quad f(0)=-12=a\cdot 0^2+b\cdot 0+c\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad \;\Rightarrow c=-12 \\
\;f(-2)=\quad \,0=a\cdot (-2)^2+b\cdot (-2)-12 \Rightarrow 12=4a-2b \Rightarrow 6=2a-b \\
\quad f(3)=\quad \,0=a\cdot 3^2+b\cdot 3-12\qquad\quad \,\Rightarrow 12=9a+3b \Rightarrow b=4-3a \\
\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad \;\;6=2a-(4-3a)=5a-4 \Rightarrow a=\quad \,2 \\
\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad \;\; \Rightarrow \;\,b=4-3\cdot 2\qquad\qquad\qquad \;\,\Rightarrow b=\;\,-2\)

Denne metode kan bruges uanset om rødderne er bekendte.